Tìm nghiệm nguyên của phương trình, hệ phương trình

Bạn chưa đăng ký thành viên vip nên chưa thể làm bài tập trắc nghiệm này

Cho phương trình sau: x + xy + y = 9. Tìm nghiệm nguyên của phương trình.

\(\left(x,y\right)=\left(1,4\right);\left(4,1\right);\left(-3,-6\right);\left(-6,-3\right);\left(0,9\right);\left(9,0\right);\left(-2,-11\right);\left(-11;-2\right)\)
\(\left(x,y\right)=\left(1,4\right);\left(-3,-6\right);\left(9,0\right);\left(0,9\right)\)
không có giá trị nào thỏa mãn
\(\left(x,y\right)=\left(1,5\right);\left(5,1\right);\left(-3,-6\right);\left(-6;-3\right);\left(0,9\right);\left(9;0\right);\left(3;-11\right);\left(-11,3\right)\)
Hướng dẫn giải:
Phương trình đã cho được đưa về dạng (x+1)(y+1)=10. Để x là nghiệm nguyên của phương trình thì x+1 là ước của 10
Suy ra: \(x+1=\left\{-1;1;-2;2;-5;5;-10;10\right\}\)
vậy phương trình có các nghiệm x, y nguyên là:
\(\left(x,y\right)=\left(1,4\right);\left(4,1\right);\left(-3,-6\right);\left(-6,-3\right);\left(0,9\right);\left(9;0\right);\left(-2,-11\right);\left(-11,-2\right)\)

Cho phân thức: \(P\left(x\right)=\frac{1+3x}{x+2}\)để \(P\left(x\right)\)có nghiệm nguyên thì điều kiện nào dưới đây xảy ra?

x nhận các giá trị nguyên
1 + 3x là ước của x + 2
x + 2 là không là ước của 1 + 3x
x + 2 là ước của 5

Hướng dẫn giải:

Dùng phương pháp tách giá trị nguyên ta có: \(P\left(x\right)=3-\frac{5}{x+2}\)để \(P\left(x\right)\)nhận giá trị nguyên thì \(\frac{5}{x+2}\)nhận giá trị nguyên nên x+5 là ước của 5.

Cho \(Q\left(x\right)=\frac{2\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+1}\). Tìm các nghiệm nguyên của Q(x).

vô số giá trị của x với x là số chính phương
x = 1 và x = 16
x = 0 và x = 4
Q(x) không có nghiệm nguyên

Hướng dẫn giải:

Có \(Q\left(x\right)=\frac{2\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+1}=\frac{2\sqrt{x}+2+3}{\sqrt{x}+1}=\frac{2\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}+\frac{3}{\sqrt{x}+1}=2+\frac{3}{\sqrt{x}+1}\). Q(x) nhận giá trị nguyên nếu \(\sqrt{x}+1\)là ước của 3 nên \(\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}+1=1\\\sqrt{x}+1=3\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=4\end{cases}}\)

Cho hệ phương trình sau: \(\hept{\begin{cases}x+y=m\\x+my=2\end{cases}}\). Xác định các giá trị m để hệ có nghiệm nguyên.

m = 0, m = 3
m = 0, m = 2
m = 1, m = 2
Không có giá trị nào của m thỏa mãn

Hướng dẫn giải:

Ta có:
\(\hept{\begin{cases}x+y=m\\x+my=2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y\left(m-1\right)=2-m\\x+y=m\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{2-m}{m-1}\\x=\frac{m^2-2}{m-1}\end{cases}}\left(m\ne1\right)\)
Để \(y\in Z\Leftrightarrow\frac{2-m}{m-1}\in Z\)mà \(\frac{2-m}{m-1}=-1+\frac{1}{m-1}\), suy ra \(\frac{1}{m-1}\in Z\Rightarrow m-1\inƯ\left(1\right)=\left\{-1,1\right\}\)
ta tìm ra m = 0, m = 2 đều thỏa mãn x, y nguyên.