Bài toán 306

Cho bảng dưới đây:

Có bao nhiêu miền hình chữ nhật (tính cả miền hình vuông) thỏa mãn: Tổng của tất cả các số trong đó chia hết cho 49?
----------------

Các bạn trình bày lời giải đầy đủ của mình vào ô Gửi Ý kiến phía dưới. Năm bạn có lời giải hay và sớm nhất sẽ được cộng/thưởng 2 tháng VIP của Online Math. Giải thưởng sẽ được công bố vào Thứ Sáu ngày 1/5/2020. Câu đố tiếp theo sẽ lên mạng vào Thứ Sáu ngày 1/5/2020. 

---------------

Bài toán này là bài toán đếm thú vị trong Đề thi toán quốc tế Bulgaria (BIMC) năm 2018. Trong tuần này, rất tiếc chưa tìm được bạn nào có lời giải hay và đúng. OLM đưa ra hướng dẫn giải bài toán này như sau:

Từ bảng trên, ta có thể xét 4 trường hợp dưới đây:

TH1: Hình vuông lớn nhất, cạnh 7 x 7

Khi đó tổng các số trong ô vuông này là:

S = 1 + 2 + 3 + ... + 47 + 48 + 49 = 25 × 49, chia hết cho 49.

Suy ra hình vuông 7 × 7 chứa 2 số đầu và cuối (1; 49) thỏa mãn.

TH2: Các hình chữ nhật cạnh 1 x 7

Ta cần tổng các số ở trong các hình này chia hết cho 49. Ta thấy ngay rằng trong các hình 1 × 7 chỉ có duy nhất hình ở cột thứ 7 tạo ra 5 hình chữ nhật sau đây có tổng các số ở bên trong nó chia hết cho 49:

(7; 14; 21; 28; 35; 42; 49); (7; 14; 21; 28; 35; 42); (14; 21; 28; 35); (21; 28); (49).

Lưu ý: Từ 5 hình chữ nhật đã biết này, không thể thêm vào nó một số hình chữ nhật khác để tạo ra một hình chữ nhật mới mới (khác với hình chữ nhật cạnh 7 × 7 đã cho) có tổng các số trong đó chia hết cho 49.

TH3: Từ TH1 và TH2 suy ra hình chữ nhật 6 × 7 chứa 2 số đầu và cuối (1; 48) thỏa mãn.

TH4: Ta sẽ lấy hình chữ nhật cạnh 6 × 7 chứa 2 số đầu và cuối (1; 48) ở mục TH3 làm gốc để lần lượt bớt đi các hình đối xứng qua tâm (24;25) với các cặp số có tổng bằng 49. Khi đó có thêm 11 hình chữ nhật có tổng các số ở trong các hình này chia hết cho 49 (viết theo 2 số đầu và cuối): (2; 47), (3; 46), (8; 41), (9; 40), (10; 39), (15; 34), (16; 33), (17; 32), (22; 27), (23; 26), (24; 25).

Kết luận: Từ 4 trường hợp, ta có 1 + 5 + 1 + 11 = 18 (hình chữ nhật) thỏa mãn điều kiện đề bài.