Đề thi học kì II - Trường Chuyên Hà Nội Amsterdam (2021)
HỌC TRỰC TUYẾN OLM.VN
Cho các biểu thức: $P=\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}$ và $Q=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2}{x-1}-1$ với $x \geq 0 ; x \neq 1$
1) Tính giá trị biểu thức $P$ với $x=4$.
2) Rút gọn biểu thức $Q$.
3) Tìm các giá trị của $x$ thỏa mãn $\dfrac{1}{Q}+P \leq 4$.
1) Giải bài toán bằng lập hệ phương trình hoăc phuơng trình. Quãng đưòng $A B$ dài $160$km. Hai xe khởi hành cùng một lúc từ $A$ để đi đến $B$. Vận tốc của xe thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe thứ hai là $10$km/h nên xe thứ nhất đến $B$ sớm hơn xe thứ hai là 48 phút. Tính vận tốc của xe thứ hai. |
2) An đứng trên mặt đất cách chân tòa nhà $25$ mét. An ngước nhìn lên đỉnh tòa nhà, tia nhìn tạo với mặt đất góc $72^{\circ}$. Tính chiều cao của tòa nhà biết vị trí mắt của An cách mặt đất là $1$ mét. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). |
1) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2 \sqrt{x}+\dfrac{3}{y-1}=5 \\ 4 \sqrt{x}-\dfrac{1}{y-1}=3\end{array}\right.$
2) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $(P): y=x^{2}$ và đường thẳng $(d): y=m x-1$, với $m$ là tham số ($m \neq 0$)
a) Khi $m=3$, tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $(d)$ và parabol $(P)$.
b) Tìm tất cả các giá trị khác 0 của tham số $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1} , x_{2}$ thỏa mãn $x_{2}(x_{1}^{2}+1)=3$.
Cho đường tròn $(O)$ với đường kính $B C$. Gọi $A$ là điểm chính giữa của cung $B C$. Lấy $M$ là điểm thuộc đoạn $B O$ ($M$ khác $B$ và $O$ ). Kẻ $M E$ vuông góc với $A B$ tại $E$ và $M F$ vuông góc với $A C$ tại $F$.
1) Chứng minh rằng năm điểm $A, E, F, O$ và $M$ cùng nằm trên một đường tròn.
2) Gọi $D$ là điểm đối xứng với $M$ qua $E F$. Chứng minh rằng tứ giác $D A F E$ là hình thang cân.
3) Đường thẳng vuông góc với $O D$ tại $D$ cắt $B C$ ở $K$. Chứng minh rằng $E, F, K$ thẳng hàng.
Cho $a, b, c$ là các số thực không âm, thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sqrt{a^{2}+a}+\sqrt{b^{2}+b}+\sqrt{c^{2}+c}$.