Đề thi tự luận (2021)

Hướng dẫn giải:

a)Thay $x=81(\mathrm{tm} \mathrm{d} \mathrm{k})$ vào biều thức $\mathrm{A}$, ta được $\mathrm{A}=\frac{2}{\sqrt{81}+1}=\frac{2}{9+1}=\frac{1}{5}$
Vậy $x=81$ thì $\mathrm{A}=\frac{1}{5}$

b) $B=\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}$
$B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}$
$B=\frac{1}{\sqrt{x}}$
$P=\frac{1}{\sqrt{x}} \div \frac{2}{\sqrt{x}+1}$
$P=\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}+1}{2}$
$P=\frac{\sqrt{x}+1}{2 \sqrt{x}}$

c) Ta có $P-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{x}+1}{2 \sqrt{x}}-\frac{1}{2}=\ldots=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
Ta có $x>0$ nên $\frac{1}{2 \sqrt{x}}>0 \Rightarrow P-\frac{1}{2}>0 \Rightarrow P>\frac{1}{2}$

Hướng dẫn giải:

Gọi số cần tìm là $\overline{x y}\left(x \in \mathbb{N}^{*}, x \leq 9 ; y \in \mathbb{N}, x \leq 9\right)$
Vì chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 3 , ta có $x-y=3 \Leftrightarrow x=y+3(1)$
Vì tồng các bình phương của hai hai chữ số là 45, ta có $x^{2}+y^{2}=45$
(2) Thay (1) vào (2), ta có phương trình $(y+3)^{2}+y^{2}=45$
$\Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow y^{2}+3 y-18=0$
Giải phương trình ta được $y=-6$ (loại) hoặc $y=3$ (chọn) Với $y=3$, ta có $y=3+3=6$ (thỏa mãn)
Vậy số cần tìm là 63.

Hướng dẫn giải:

Thể tích của hộp sữa $\mathrm{V}=\pi \mathrm{r}^{2}$.h Mà $\mathrm{h}=2 \mathrm{r} \Rightarrow \mathrm{V}=2 \pi \mathrm{r}^{3} \Rightarrow 16 \pi=2 \pi \mathrm{r}^{3} \Rightarrow \mathrm{r}=2 \mathrm{~cm} \Rightarrow \mathrm{h}=4 \mathrm{~cm}$.

Diện tích vật liệu đề tạo nên vỏ hộp sữa là $\mathrm{S}_{\mathrm{tp}}=\mathrm{S}_{\mathrm{xq}}+2 \cdot \mathrm{S}_{\mathrm{a}}=2 \pi \mathrm{rh}+2 \pi \mathrm{r}^{2}=2 \pi \mathrm{r}(\mathrm{h}+\mathrm{r})=\ldots=24 $.

Hướng dẫn giải:

$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x-1}-\frac{1}{2 y-1}=0 \\ \end{array} \quad(1)\left(\right.\right.$ ĐKXĐ $\left.: x \geq 1, y \neq \frac{1}{2}\right)$
$2 \sqrt{x-1}+\frac{1}{2 y-1}=3$
Đặt $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x-1}=a(a \geq 0) \\ \frac{1}{2 y-1}=b(b \neq 0)\end{array}\right.$, ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}a-b=0 \\ 2 a+b=3\end{array}\right.$ (2)
Giải hệ phương trình (2), ta được $\left\{\begin{array}{l}a=1(t m) \\ b=1(t m)\end{array}\right.$ Với $\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=1\end{array}\right.$, ta có $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x-1}=1 \\ \frac{1}{2 y-1}=1\end{array} \Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=2(t m) \\ y=1(t m)\end{array}\right.\right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x ;y)=(2 ; 1)$.

Hướng dẫn giải:

Ta có $\Delta=\ldots=(2 \mathrm{~m}-1)^{2}+20$
Vì $(2 m-1)^{2} \geq 0$ với $\forall m \Rightarrow(2 m-1)^{2}+20>0$ với $\forall m$
$\Rightarrow \Delta>0$ với $\forall \mathrm{m} \Rightarrow$ Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt Luu $y$ : HS nhận xét dấu của a và c để chứng minh GV cho điểm tương đương. Theo hệ thức Vi - ét, ta có $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=2 m-1 \\ x_{1} x_{2}=-5\end{array}\right.$
Ta có $\left\{\begin{array}{l}x_{1} x_{2}=-5 \\ x_{1} ; x_{2} \in \mathbb{Z}\end{array} \Rightarrow x_{1} ; x_{2} \in\{\pm 1 ; \pm 5\}\right.$
Lập bảng giá trị

Vậy $m \in\{-1,5 ; 2,5\}$ thỏa mãn đề bài.

Hướng dẫn giải:

a) Chứng minh $\widehat{C M E}=90^{\circ}$

b) Chứng minh tứ giác AMCB nội tiếp $\Rightarrow$ Chứng minh $\widehat{N M A}=\widehat{N B C}$
Chứng minh $\triangle \mathrm{NMA} \backsim \triangle \mathrm{NBC}(\mathrm{gg})$
Chứng minh NM. $\mathrm{NC}=\mathrm{NA} . \mathrm{NB}(\mathrm{đpcm})$

c) Chứng minh $\mathrm{AP}$ là đường kính của (O).

Chứng minh MP $\perp$ AM.

Chứng minh IK // MP.

Gọi $\mathrm{IK}$ cắt $\mathrm{CP}$ tại $\mathrm{F}$. Chứng minh $\mathrm{F}$ là trung điểm của CP Vì $\mathrm{A}, \mathrm{C}$ cố định $\Rightarrow \mathrm{P}, \mathrm{F}$ cố định.
Mà $\widehat{AKF}=90^{\circ} \Rightarrow \mathrm{K}$ thuộc đường tròn đường kính $\mathrm{AF}$ cố định.

Hướng dẫn giải:

Ta có $\left(a+\sqrt{a^{2}+9}\right)\left(b+\sqrt{b^{2}+9}\right)=9$ (đề bài)
Mà $\left(a+\sqrt{a^{2}+9}\right)\left(\sqrt{a^{2}+9}-a\right)=9$ và $\left(\sqrt{b^{2}+9}-b\right)\left(b+\sqrt{b^{2}+9}\right)=9$
$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a+\sqrt{a^{2}+9}=\sqrt{b^{2}+9}-b \\ b+\sqrt{b^{2}+9}=\sqrt{a^{2}+9}-a\end{array} \Rightarrow \ldots \Rightarrow a=-b\right.$
$\Rightarrow M=2 a^{4}-a^{4}-6 a^{2}+8 a^{2}-10 a+2 a+2026$
$\Rightarrow M=a^{4}+2 a^{2}-8 a+2026$
$\Rightarrow M=a^{4}-2 a^{2}+1+4 a^{2}-8 a+4+2021$
$\Rightarrow M=\left(a^{2}-1\right)^{2}+(2 a-2)^{2}+2021$
$\Rightarrow M \geq 2021$
Dấu "=" xảy ra khi $a=1, \mathrm{~b}=-1$.

Vậy MinM $=2021$ khi $a=1, b=-1$