Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Hướng dẫn giải:

\(x=\dfrac{12^2}{20}=7,2;y=20-7,2=12,8.\)

Hướng dẫn giải:

\(\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH.BC}{CH.BC}=\dfrac{BH}{CH}=\dfrac{x}{y}\Rightarrow\dfrac{x}{y}=\dfrac{25}{36}.\)

Đặt $x=25t,$ $y=36t$.

Ta có $AH^2 = 30^2 = xy = 900t^2\Rightarrow t = 1$.

Suy ra $x = 25,$ $y=36$.

Hướng dẫn giải:

a) $HB.HC = AF.AC = AH^2$.

b) $S_{AEHF} = AE.AF$.

Theo câu a thì $AE.AF.AB.AC = AH^4$, mà $AB.AC = AH.BC$ nên $AE.AF=\dfrac{AH^3}{BC}$.

Gọi $M$ là trung điểm $BC$ thì $AM=\dfrac12 BC$ (cố định), $AH\le AM$ nên $S_{AEHF}$ lớn nhất khi và chỉ khi $H$ trùng $M$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $BC = x+y=10$.

\(x=\dfrac{AB^2}{BC}=3,6;y=\dfrac{AC^2}{BC}=4,8.\)

Hướng dẫn giải:

$AH=6$;

$y=\dfrac{AH^2}{8}=\dfrac92$;

\(x=\sqrt{\left(\dfrac{9}{2}\right)^2+6^2}=\dfrac{15}{2}.\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: $AB^2 - BH^2= BH.CH$ ($=AH^2$) 

Suy ra $30^2 - y^2 = 32y$.

Phương trình có nghiệm dương $y=18$.

Từ đó tìm được $x=40$.

Hướng dẫn giải:

Đặt $BH = t$, suy ra $HC=5-t$.

Ta có $2^2 =t(5-t)$.

Phương trình có nghiệm $t=1$ hoặc $t=4$.

+) Với $t=1$ thì $x=\sqrt{5},$ $y=2\sqrt{5}$.

+) Với $t=4$ thì $x=2\sqrt{5},$ $y=\sqrt{5}$.

Hướng dẫn giải:

Đặt $CD = x,$ $AC = y$.

Ta có: $10.x = 6.y$ ($=S_{ABC}$)

Suy ra $\dfrac xy = \dfrac35$.

Đặt $x = 3t,$ $y=5t$.

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông $ACD$ tìm được $t=2$.

Vậy $x=6,$ $S_{ABC}=60cm^2$.

Hướng dẫn giải:

\(\dfrac{EA}{AB}=\dfrac{EC}{CB}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}.\)

Đặt $EA = x,$ $AB = 2x$.

Áp dụng đinh lí Pi-ta-go vào tam giác $ABC$ ta có:

$(x+3)^2 + (2x)^2 = 36$.

Phương trình có nghiệm dương $x=\dfrac95$.

Từ đó $AB=\dfrac{18}{5},$ $AC = \dfrac{24}{5}$.

Hướng dẫn giải:

Đặt $CH=x$ thì $BH = 21-x$.

Ta có: $AB^2 - BH^2 = AC^2 -CH^2$ ($=AH^2$)

Suy ra $10^2 - (21-x)^2 = 17^2 - x^2$.

Phương trình có nghiệm $x=6$.

Từ đó $AH=8$.

Diện tích tam giác bằng $84$ (đvdt).