Bài 1. Giới hạn của dãy số

Cấp số nhân vô hạn $\left(u_n\right)$ có công bội $q$ với $|q|<1$ được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Cho cấp số nhân lùi vô hạn $\left(u_n\right)$ với công bội $q$. Khi đó:

$S_n=u_1+u_2+\ldots+u_n=\dfrac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q} .$

Vì $|q|<1$ nên $q^n \rightarrow 0$ khi $n \rightarrow+\infty$. Do đó, ta có:

$\lim _{n \rightarrow+\infty} S_n=\lim \left[\dfrac{u_1}{1-q}-\left(\dfrac{u_1}{1-q}\right) q^n\right]=\dfrac{u_1}{1-q} .$

Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $\left(u_n\right)$, và kí hiệu là

$S=u_1+u_2+\ldots+u_n+\ldots$

Như vậy:

Ví dụ 1. Tính tổng $S=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8}+\ldots+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}+\ldots$

Giải

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1=1$ và $q=-\dfrac{1}{2}$.

Do đó

$S=\dfrac{u_1}{1-q}=\dfrac{1}{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)}=\dfrac{2}{3} .$

Ví dụ 2. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn $2,222 \ldots$. dưới dạng phân số.

Giải

Ta có $2,222 \ldots=2+0,2+0,02+0,002+\ldots=2+2 \cdot 10^{-1}+2 \cdot 10^{-2}+2 \cdot 10^{-3}+\ldots$

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1=2, q=10^{-1}$ nên

$2,222 \ldots=\dfrac{u_1}{1-q}=\dfrac{2}{1-\dfrac{1}{10}}=\dfrac{20}{9}$