Bài 1. Giới hạn của dãy số

I - GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Kí hiệu: $\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} u_n=0$ hay $u_n \rightarrow 0$ khi $n \rightarrow+\infty$.

Ví dụ 1. Xét dãy số $u_n=\dfrac{1}{n^2}$. Giải thích vì sao dây số này có giới hạn là 0 .

Giải

Dãy số này có giới hạn là 0 , bởi vì $\left|u_n\right|=\dfrac{1}{n^2}$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý khi $n$ đủ lớn. Chẳng hạn, để $\left|u_n\right|<0,0001$ tức là $\dfrac{1}{n^2}<10^{-4}$, ta cần $n^2>10000$ hay $n>100$. Như vậy, các số hạng của dãy kể từ số hạng thứ 101 đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 0,0001 .

Định nghĩa 2

Kí hiệu: $\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} v_n=a$ hay $v_n \rightarrow a$ khi $n \rightarrow+\infty$.

Ví dụ 2. Xét dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=\dfrac{2 n+1}{n}$. Chứng minh rằng $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_n=2$.

Giải

Ta có $u_n-2=\dfrac{2 n+1}{n}-2=\dfrac{(2 n+1)-2 n}{n}=\dfrac{1}{n} \rightarrow 0$ khi $n \rightarrow+\infty$.

Do vậy $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} u_n=2$.

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) $\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \dfrac{1}{n}=0 ; \lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \dfrac{1}{n^k}=0$ với $k$ nguyên dương;

b) $\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} q^n=0$ nếu $|q|<1$

c) Nếu $u_n=c$ ( $c$ là hằng số) thì $\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} u_n=\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} c=c$.

Chú ý: Từ nay về sau thay cho $\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} u_n=a$ ta viết tắt là $\lim\limits u_n=a$.

II - ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Định lí 1

Vi dụ 3. Tìm $\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \dfrac{n^2+n+1}{2 n^2-1}$

Giải
Áp dụng các quy tắc tính giới hạn, ta có:

$\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \dfrac{n^2+n+1}{2 n^2-1}=\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} \dfrac{1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}}{2-\dfrac{1}{n^2}}=\dfrac{\lim\limits _{n \rightarrow+\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)}{\lim\limits _{n \rightarrow+\infty}\left(2-\dfrac{1}{n^2}\right)}=\dfrac{1}{2}$