Sử dụng phương pháp nhân với lượng liên hợp để trục căn thức.
| • $\sqrt{A}+B=\dfrac{A-B^2}{\sqrt{A}-B}$ | • $ \sqrt[3]{A}+B=\dfrac{A+B^3}{\sqrt[3]{A^2}-B \cdot \sqrt[3]{A}+B^2}$ |
| • $\sqrt{A}+\sqrt{B}=\dfrac{A-B}{\sqrt{A}-\sqrt{B}}$ | • $\sqrt[3]{A}-B=\dfrac{A-B^3}{\sqrt[3]{A^2}+B \cdot \sqrt[3]{A}+B^2} $ |
| • $\sqrt{A}-B=\dfrac{A-B^2}{\sqrt{A}+B}$ | • $\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B}=\dfrac{A+B}{\sqrt[3]{A^2}-\sqrt[3]{A \cdot B}+\sqrt[3]{B^2}}$ |
| • $\sqrt{A}-\sqrt{B}=\dfrac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}$ | • $\sqrt[3]{A}-\sqrt[3]{B}=\dfrac{A-B}{\sqrt[3]{A^2}+\sqrt[3]{A \cdot B}+\sqrt[3]{B^2}}$ |
Ví dụ 1. Tính $\lim \left(\sqrt{n^2+3 n}-\sqrt{n^2}\right)$.
Giải
$\lim \left(\sqrt{n^2+3 n}-\sqrt{n^2}\right)=\lim \dfrac{3 n}{\sqrt{n^2+3 n}+\sqrt{n^2}}=\lim \dfrac{3}{\sqrt{1+\dfrac{3}{n}}+\sqrt{1}}=\dfrac{3}{2}$
Ví dụ 2. Tính $\lim \left(\sqrt{n^2-n+1}-n\right)$.
Giải
$\sqrt{n^2-n+1}-n \sim \sqrt{n^2}-n=0 \longrightarrow$ nhân lượng liên hợp :
$\lim \left(\sqrt{n^2-n+1}-n\right)=\lim \dfrac{-n+1}{\sqrt{n^2-n+1}+n}=\lim \dfrac{-1+\dfrac{1}{n}}{\sqrt{1-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}}+1}=-\dfrac{1}{2}$
Giải nhanh: $\sqrt{n^2-n+1}-n=\dfrac{-n+1}{\sqrt{n^2-n+1}+n} \sim \dfrac{-n}{\sqrt{n^2}+n}\rightarrow-\dfrac{1}{2}$.
Ví dụ 3. Tính $\lim \left(\sqrt[3]{n^2-n^3}+n\right)$.
Giải
$\sqrt[3]{n^2-n^3}+n \sim \sqrt[3]{-n^3}+n=0 \longrightarrow$ nhân lượng liên hợp :
$\lim \left(\sqrt[3]{n^2-n^3}+n\right)=\lim \dfrac{n^2}{\sqrt[3]{\left(n^2-n^3\right)^2}-n \sqrt[3]{n^2-n^3}+n^2}=\lim \dfrac{1}{\sqrt[3]{\left(\dfrac{1}{n}-1\right)^2}-\sqrt[3]{\dfrac{1}{n}-1}+1}=\dfrac{1}{3}$
Giải nhanh: $\sqrt[3]{n^2-n^3}+n=\dfrac{n^2}{\sqrt[3]{\left(n^2-n^3\right)^2}-n \sqrt[3]{n^2-n^3}+n^2} \sim \dfrac{n^2}{\sqrt[3]{n^6}-n \sqrt[3]{-n^3}+n^2}\rightarrow\dfrac{1}{3}$.
Ví dụ 4. Tính $\lim \left(\sqrt[3]{n^3+3}-\sqrt{n^2+2}\right)$.
Giải
$\lim \left(\sqrt[3]{n^3+3}-\sqrt{n^2+2}\right)=\lim \left(\sqrt[3]{n^3+3}-n\right)+\lim \left(n-\sqrt{n^2+2}\right)$
$=\lim \dfrac{n^3+3-n^3}{\left(n^3+3\right)^{\frac{2}{3}}+n^2+n \cdot \sqrt[3]{n^3+3}}+\lim \dfrac{n^2-n^2-2}{n+\sqrt{n^2+2}}=\lim \dfrac{3}{\left(n^3+3\right)^{\frac{2}{3}}+n^2+n \cdot \sqrt[3]{n^3+3}}-\lim \dfrac{2}{n+\sqrt{n^2+2}}$
Khi $n \rightarrow \infty$ thì: $\lim \left(\left(n^3+3\right)^{\frac{2}{3}}+n^2+n \cdot \sqrt[3]{n^3+3}\right)=\infty ; \lim \left(n+\sqrt{n^2+2}\right)=\infty$
$\Rightarrow \lim \dfrac{3}{\left(n^3+3\right)^{\frac{2}{3}}+n^2+n \cdot \sqrt[3]{n^3+3}}-\lim \dfrac{2}{n+\sqrt{n^2+2}}=0$
Do đó, $\lim \left(\sqrt[3]{n^3+3}-\sqrt{n^2+2}\right)=0$
• Đặt biệt, đôi khi ta thêm, bớt đại lượng đơn giản để xác định các giới hạn mới có cùng dạng vô định, chẳng hạn:
$\begin{aligned}& \sqrt[3]{n^3+2}-\sqrt{n^2+1}=\left(\sqrt[3]{n^3+2}-n\right)+\left(n-\sqrt{n^2+1}\right) \\& \sqrt{n^2+n}+\sqrt[3]{2-n^3}=\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)+\left(n+\sqrt[3]{2-n^3}\right)\end{aligned}$
Ví dụ 5. Tính $\lim \left(\sqrt{4 n^2+n}-\sqrt[3]{2 n^2-8 n^3}\right).$
Giải
$\begin{aligned} & \lim \left(\sqrt{4 n^2+n}-\sqrt[3]{2 n^2-8 n^3}\right)=\lim \left(\sqrt{4 n^2+n}+2 n\right)-\lim \left(\sqrt[3]{2 n^2-8 n^3}+2 n\right) \\ & =\lim \dfrac{4 n^2+n-4 n^2}{\sqrt{4 n^2+n}-2 n}+\lim \dfrac{2 n^2-8 n^3+8 n^3}{\left(2 n^2-8 n^3\right)^{\frac{2}{3}}+4 n^2-2 n \sqrt[3]{2 n^2-8 n^3}} \\ & =\lim \dfrac{n}{\sqrt{4 n^2+n}-2 n}+\lim \dfrac{2 n^2}{\sqrt[3]{\left(2 n^2-8 n^3\right)^2}+4 n^2-2 n \cdot \sqrt[3]{8 n^3\left(\dfrac{1}{4 n}-1\right)}} \\ & =\dfrac{1}{\lim \left(\sqrt{4+\dfrac{1}{n}}-2\right)}+\dfrac{1}{\lim \left[2 \cdot\left(\dfrac{1}{4 n}-1\right)^{\frac{2}{3}}+2-2\left(\dfrac{1}{4 n}-1\right)^{\frac{1}{3}}\right]} \\ & \end{aligned}$
Khi $n \rightarrow \infty$ thì: $\lim \dfrac{1}{n}=0 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\lim \left(\sqrt{4+\dfrac{1}{n}}-2\right)=2-2=0 \\ \lim \left[2 \cdot\left(\dfrac{1}{4 n}-1\right)^{\frac{2}{3}}+2-2\left(\dfrac{1}{4 n}-1\right)^{\frac{1}{3}}\right]=-2+2+2=2\end{array}\right.$ $\Rightarrow \dfrac{1}{\lim \left(\sqrt{4+\dfrac{1}{n}}-2\right)}+\dfrac{1}{\lim \left[2 \cdot\left(\dfrac{1}{4 n}-1\right)^{\frac{2}{3}}+2-2\left(\dfrac{1}{4 n}-1\right)^{\frac{1}{3}}\right]}=+\infty$
Do đó, $\lim \left(\sqrt{4 n^2+n}-\sqrt[3]{2 n^2-8 n^3}\right)=+\infty$
Chú ý: \(\sqrt[3]{A}=A^{\frac{1}{3}};\sqrt[3]{A^2}=A^{\frac{2}{3}}.\)
• Đối với các biểu thức khác, biểu thức hỗn hợp thì xem xét đặt thừa số chung của mũ có cơ số lớn nhất, lũy thừa của $n$ lớn nhất.
Toán lớp 11 (Chân trời sáng tạo)