Bài 1. Giới hạn của dãy số

1. Định nghĩa

Kí hiệu: $\lim u_n=+\infty$ hay $u_n \rightarrow+\infty$ khi $n \rightarrow+\infty$.

Kí hiệu: $\lim u_n=-\infty$ hay $u_n \rightarrow-\infty$ khi $n \rightarrow+\infty$.

Nhận xét: $u_n=+\infty \Leftrightarrow \lim \left(-u_n\right)=-\infty$.

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

a) $\lim n^k=+\infty$ với $k$ nguyên dương;

b) $\lim q^n=+\infty$ nếu $q>1$.

Định lý

a) Nếu $\lim u_n=a$ và $\lim v_n= \pm \infty$ thì $\lim \dfrac{u_n}{v_n}=0$.

b) Nếu $\lim u_n=a>0, \lim v_n=0$ và $v_n>0, \forall n>0$ thì $\lim \dfrac{u_n}{v_n}=+\infty$.

c) Nếu $\lim u_n=+\infty$ và $\lim v_n=a>0$ thì $\lim u_n \cdot v_n=+\infty$.

Ví dụ: Tính $\lim\left(n^2-2 n\right)$.

Giải

Ta có $n^2-2 n=n^2\left(1-\dfrac{2}{n}\right)$. Hơn nữa $\lim  n^2=+\infty$ và $\lim\left(1-\dfrac{2}{n}\right)=1$.

Do đó, $\lim \left(n^2-2 n\right)=+\infty$.