Bài 2: Giới hạn của hàm số

Tóm tắt bài giảng

Để hiểu rõ hơn về giới hạn của hàm số, xét giới hạn của hàm số \(f(x)=x+2\) khi \(x\rightarrow2\), kí hiệu là \(\lim\limits_{x\rightarrow2}\left(x+2\right)\) hay \(\lim\limits_{x\rightarrow2}f\left(x\right)\).

Đầu tiên, có thể hiểu \(\lim\limits_{x\rightarrow2}f\left(x\right)\) là giá trị mà hàm số \(f\left(x\right)\) dần đạt tới khi \(x\) dần tới \(2\).

Trên đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)=x+2\), ta di chuyển điểm \(\left(-1;1\right)\) trên đường thẳng \(d:y=x+2\) đến rất gần điểm có hoành độ \(x=2\), khi đó \(y\) dần tới \(4\).

Tương tự, di chuyển điểm \(\left(3;5\right)\) trên đường thẳng \(d\) đến rất gần điểm có hoành độ \(x=2\), khi đó \(y\) dần tới \(4\).

Từ đó ta nói rằng giới hạn của \(f(x)\) khi \(x\) dần đến \(2\) là \(4\).

Bạn có thể đang tự hỏi sự khác biệt giữa giới hạn của hàm số \(f(x)\) khi \(x\rightarrow2\) hay \(\lim\limits_{x\rightarrow2}f\left(x\right)\) và giá trị của hàm số \(f\left(x\right)\) tại \(x=2\) hay \(f\left(2\right)\). Trong trường hợp này, \(\lim\limits_{x\rightarrow2}f\left(x\right)=f\left(2\right)\).

Nhưng không phải lúc nào \(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)\) cũng bằng \(f\left(a\right)\) (\(a\) có thể là số thực hoặc \(\pm\infty\)).

Thật vậy, xét hàm số \(g\left(x\right)=\dfrac{x^2+4x+4}{x+2}\) hay \(g\left(x\right)=x+2,\forall x\ne2\). Cũng giống như \(f\left(x\right)\), giới hạn của \(g\left(x\right)\) khi \(x\) dần tới \(2\) là \(4\). Lý do là khi \(x\) tới rất gần \(2\) (chưa chạm đến \(2\)) thì \(g\left(x\right)\) vẫn tiến tới rất gần \(4\), nhưng giá trị \(g\left(2\right)\) lại không xác định!

Đó là vẻ đẹp và ý nghĩa của giới hạn, \(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right)\) không phụ thuộc vào \(f\left(a\right)\), nó mô tả dáng điệu của \(f\left(x\right)\)  khi \(x\) rất gần \(a\) (\(x\rightarrow a\)).