I. ƯỚC CHUNG VÀ ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT
Số tự nhiên \(n\) được gọi là ước chung của hai số \(a\) và \(b\) nếu \(n\) vừa là ước của \(a\) vừa là ước của \(b\).
Số lớn nhất trong các ước chung của \(a\) và \(b\) được gọi là ước chung lớn nhất của \(a\) và \(b\).
Quy ước: Viết tắt ước chung là ƯC và ước chung lớn nhất là ƯCLN.
Ta kí hiệu: Tập hợp các ước chung của \(a\) và \(b\) là ƯC\(\left(a,b\right)\); ước chung lớn nhất của \(a\) và \(b\) là ƯCLN\(\left(a,b\right)\).
Ví dụ: Số 5 có phải là ước chung của 20 và 30 không? Vì sao?
Giải
Số 5 là ước chung của 20 và 30 vì 5 vừa là ước của 20 vừa là ước của 30.
Ví dụ:
a) Liệt kê các ước của 12 và 20 theo thứ tự tăng dần.
b) Viết tập hợp ƯC(12, 20).
c) Tìm ƯCLN(12, 20).
Giải
a) Ta có bảng sau:
b) Các ước chung của 12 và 20 là 1, 2, 4.
Vậy ƯC\(\left(12,20\right)=\left\{1;2;4\right\}\).
c) ƯCLN(12, 20) = 4.
Chú ý: Số tự nhiên \(n\) được gọi là ước chung của ba số \(a,b,c\) nếu \(n\) là ước của cả ba số \(a,b,c\).
Ước chung của hai số là ước của ước chung lớn nhất của chúng.
Ví dụ: Biết ƯCLN\(\left(a,b\right)=60\). Tìm tất cả các số có hai chữ số là ước chung của \(a\) và \(b\).
Giải
Vì ước chung của \(a\) và \(b\) đều là ước của ƯCLN\(\left(a,b\right)=60\) nên tất cả các số có hai chữ số là ước chung của \(a\) và \(b\) là: 10, 12, 15, 20, 30, 60.
II. TÌM ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH CÁC SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ
Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố
Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung
Bước 3. Với mỗi thừa số nguyên tố chung, ta chọn lũy thừa với số mũ nhỏ nhất
Bước 4. Lấy tích các lũy thừa đã chọn, ta nhận được ước chung lớn nhất cần tìm.
Ví dụ: Tìm ƯCLN(168, 180).
Giải
Ta có: \(168=2^3.3.7\);
\(180=2^2.3^2.5\).
Chọn ra các thừa số nguyên tố chung của 168 và 180 là 2 và 3.
Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2; Số mũ nhỏ nhất của 3 là 1.
Vậy ƯCLN\(\left(168,180\right)=2^2.3^1=4.3=12\).
Chú ý:
- Nếu hai số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng bằng 1.
- Nếu \(a⋮b\) thì ƯCLN\(\left(a,b\right)=b\). Chẳng hạn ƯCLN\(\left(48,16\right)=16\).
III. HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU
Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất bằng 1.
Ví dụ:
a) Hai số 14 và 27 có nguyên tố cùng nhau không? Vì sao?
b) Hãy chỉ ra một số nguyên tố cùng nhau với 6.
Giải
a) Hai số 14 và 27 nguyên tố cùng nhau vì ƯCLN(14, 27) = 1.
b) Do ƯCLN(6,35) = 1 nên 6 và 35 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Phân số tối giản là phân số có tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau.
Ví dụ:
a) Rút gọn phân số \(\dfrac{16}{20}\) về phân số tối giản.
b) Tìm một phân số bằng phân số \(\dfrac{3}{7}\) và có tử số bằng 18.
Giải
a) ƯCLN(16, 20) = 4. Vậy \(\dfrac{16}{20}=\dfrac{16:4}{20:4}=\dfrac{4}{5}\).
b) Ta có \(18:3=6\); \(\dfrac{3}{7}=\dfrac{3.6}{7.6}=\dfrac{18}{42}\). Vậy phân số cần tìm là \(\dfrac{18}{42}\).
TÌM TÒI - MỞ RỘNG
Tìm ước chung lớn nhất bằng thuật toán Ơ-clit (Euclid)
Ta có thể tìm ƯCLN(450, 198) theo các bước sau:
Toán 6 (Cánh Diều)