Bài 12: Ước chung. Ước chung lớn nhất

1. Ước chung

- Một số được gọi là ước chung của hai hay nhiều số nếu nó là ước của tất cả các số đó.

- Tập hợp các ước chung của hai số \(a\) và \(b\) kí hiệu là ƯC\(\left(a,b\right)\).

\(x\in\) ƯC\(\left(a,b\right)\) nếu \(a⋮x\) và \(b⋮x\).

- Tương tự, tập hợp các ước chung của \(a,b,c\) kí hiệu là ƯC\(\left(a,b,c\right)\).

\(x\in\) ƯC\(\left(a,b,c\right)\) nếu \(a⋮x\), \(b⋮x\) và \(c⋮x\).

Ví dụ: 

Ta có \(Ư\left(12\right)=\left\{1;2;3;4;6;12\right\}\);

          \(Ư\left(18\right)=\left\{1;2;3;6;9;18\right\}\).

Các số 1, 2, 3 ,6 đều là ước của hai số 12 và 18 nên ƯC\(\left(12,18\right)=\left\{1;2;3;6\right\}\).

Cách tìm ước chung của hai số \(a\) và \(b\):

- Viết tập hợp các ước của \(a\) và ước của \(b\): Ư\(\left(a\right)\), Ư\(\left(b\right)\).

- Tìm những phần tử chung của Ư\(\left(a\right)\) và Ư\(\left(b\right)\).

Ví dụ: Tìm ước chung của 24 và 30.

Giải

Ta có: Ư\(\left(24\right)=\left\{1;2;3;4;6;8;12;24\right\}\);

           Ư\(\left(30\right)=\left\{1;2;3;5;6;10;15;30\right\}\).

Do đó ƯC\(\left(24,30\right)=\left\{1;2;3;6\right\}\).

2. Ước chung lớn nhất

Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

Kí hiệu ước chung lớn nhất của \(a\) và \(b\) là ƯCLN\(\left(a,b\right)\).

Tương tự, ước chung lớn nhất của \(a,b\) và \(c\) kí hiệu là ƯCLN\(\left(a,b,c\right)\).

Nhận xét: Tất cả các ước chung của hai hay nhiều số đều là ước của ƯCLN của các số đó.

Ví dụ: Biết ƯCLN\(\left(a,b\right)=60\). Tìm tất cả các số có hai chữ số là ước chung của \(a\) và \(b\).

Giải

Vì ước chung của \(a\) và \(b\) đều là ước của ƯCLN\(\left(a,b\right)=60\) nên tất cả các số có hai chữ số là ước chung của \(a\) và \(b\) là: 10, 12, 15, 20, 30, 60.

3. Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố

Quy tắc:

Muốn tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

1. Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
2. Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
3. Bước 3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Ví dụ: Tìm ƯCLN(168, 180).

Giải

Ta có: \(168=2^3.3.7\);

           \(180=2^2.3^2.5\).

Chọn ra các thừa số nguyên tố chung của 168 và 180 là 2 và 3.

Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2; Số mũ nhỏ nhất của 3 là 1.

Vậy ƯCLN\(\left(168,180\right)=2^2.3^1=4.3=12\).

Hai số có ƯCLN bằng 1 gọi là hai số nguyên tố cùng nhau.

4. Ứng dụng trong rút gọn phân số

Phân số tối giản là phân số có tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau.

Để đưa một phân số chưa tối giản \(\dfrac{a}{b}\) về phân số tối giản, ta chia cả tử và mẫu cho ƯCLN\(\left(a,b\right)\).

Ví dụ: Rút gọn phân số \(\dfrac{16}{20}\) về phân số tối giản.

Giải

ƯCLN(16, 20) = 4. Vậy \(\dfrac{16}{20}=\dfrac{16:4}{20:4}=\dfrac{4}{5}\).