Toán: Ôn tập tổng hợp Đại số

A. ĐƠN THỨC VÀ ĐA THỨC MỘT BIẾN

1. Đơn thức một biến

Đơn thức một biến (gọi tắt là đơn thức) là biểu thức đại số có dạng tích của một số thực với một lũy thừa của biến, trong đó, số thực gọi là hệ số, số mũ của lũy thừa của biến gọi là bậc của đơn thức.

Ví dụ: Biểu thức \(\dfrac{1}{2}x^3\) là một đơn thức, trong đó \(\dfrac{1}{2}\) là hệ số, số mũ \(3\) của biến \(x\) là bậc của đơn thức đó.

2. Đa thức một biến

Đa thức một biến (gọi tắt là đa thức) là tổng của những đơn thức của cùng một biến; mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

Ví dụ: Đa thức \(A=A\left(x\right)=3x^2-2x+5\) có ba hạng tử là \(3x^2;-2x\) và \(5.\)

3. Đa thức một biến thu gọn

Đa thức không chứa hai đơn thức nào cùng bậc là đa thức thu gọn.

Ví dụ: Thu gọn đa thức \(A=-2x^3-3x^2+2x^3+5x+x^2-4.\)

Giải

Ta có 

\(A=-2x^3-3x^2+2x^3+5x+x^2-4\)

\(=-2x^3+2x^3-3x^2+x^2+5x-4\)

\(=\left(-2x^3+2x^3\right)-\left(3x^2-x^2\right)+5x-4\)

\(=-2x^2+5x-4.\)

4. Bậc và hệ số của đa thức

Trong một đa thức thu gọn và đa thức không:

• Bậc của hạng tử có bậc cao nhất gọi là bậc của đa thức đó.
• Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất gọi là hệ số cao nhất của đa thức đó.
• Hệ số của hạng tử có bậc \(0\) gọi là hệ số tự do của đa thức đó.

Ví dụ: Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức \(P=x^3+2x^2-x^3+4x-2.\)

Giải

Ta thu gọn đa thức \(P=x^3+2x^2-x^3+4x-2\)

\(P=\left(x^3-x^3\right)+2x^2+4x-2\)

\(P=2x^2+4x-2\)

Trong dạng thu gọn của \(P\), hạng tử có bậc cao nhất là \(2x^2\) nên bậc của \(P\) là \(2\); hệ số cao nhất là \(2\); hạng tử bậc không là \(-2\) nên hệ số tự do là \(-2.\)

B. TỈ LỆ THỨC VÀ DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

1. Tỉ lệ thức

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\).

Chú ý: Tỉ lệ thức \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) còn được viết dưới dạng \(a:b=c:d\).

2. Tính chất của tỉ lệ thức

• Nếu \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) thì $ad=bc$.
• Nếu $ad=bc$ (với $a, \, b, \, c, \, d\neq 0$) thì ta có các tỉ lệ thức:

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\);     \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\);     \(\dfrac{d}{b}=\dfrac{c}{a}\);     \(\dfrac{d}{c}=\dfrac{b}{a}\).

Nhận xét: Từ tỉ lệ thức \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) , ($a, \, b, \, c, \, d\neq0$) suy ra

\(a=\dfrac{bc}{d}\);     \(b=\dfrac{ad}{c}\);     \(c=\dfrac{ad}{b}\);     \(d=\dfrac{bc}{a}\).    

3. Tính chất của dãy hai tỉ số bằng nhau

Từ tỉ lệ thức \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) suy ra \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a-c}{b-d}\).

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

Ví dụ: Tìm hai số $x$ và $y$, biết: \(\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{6}\) và \(x+y=20\).

Giải

Từ tính chất của dãy hai tỉ số bằng nhau ta có: \(\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{6}=\dfrac{x+y}{4+6}=\dfrac{20}{10}=2\).

Suy ra \(x=2\cdot4=8\); \(y=2\cdot6=12\).