I. Giới hạn hữu hạn
1. Định nghĩa
Dãy số $(u_n)$ được gọi là có giới hạn bằng $0$ khi $n$ tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương $\epsilon$ nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương $\epsilon$ đó.
2. Kí hiệu
$\lim u_n = 0 \Leftrightarrow \lim(u_n - a) = 0$ ($\forall \epsilon > 0$ nhỏ tùy ý, luôn tồn tại $n_0 \in \mathbb{N}$ sao cho $|u_n|<\epsilon, \forall n>n_0)$.
3. Giới hạn đặc biệt (1)
- $\lim \dfrac1{n^k} = 0$, với mọi $k \in \mathbb{N}^*$;
- Nếu $|q|<1$ thì $\lim q^n = 0$;
- Nếu $u_n = c$ ($c$ là hằng số) thì $\lim u_n = \lim c = c$.
II. Định lí về giới hạn
1. Định lí 1
Nếu dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $|u_n|<v_n$ (kể từ số hạng nào đó trở đi) và $\lim v_n = 0$ thì $\lim u_n = 0$.
2. Định lí 2
Cho $\lim u_n = a$ và $\lim v_n = b$, ta có
- $\lim(u + v) = a + b$;
- $\lim(u - v) = a - b$;
- $\lim(u.v) = a.b$;
- $\lim \dfrac uv = \dfrac ab$ (với $b \ne 0$);
- Nếu $u_n \ge 0$ với mọi $n$ thì $\lim \sqrt{u_n} = \sqrt a$.
III. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Cho cấp số nhân $(u_n)$ có công bội $q$, với $|q| < 1$.
Khi đó, tổng vô hạn của cấp số nhân $S = u_1 + u_2 + ... + u_n + ... = \lim S_n = \dfrac{u_1}{1-q}.$
IV. Giới hạn vô cực
1. Định nghĩa
$\lim u_n = +\infty$ khi và chỉ khi với mỗi số dương $M$, mọi số hạng của dãy số (kể từ một số hạng nào đó trở đi) đều lớn hơn $M$.
$\lim u_n = -\infty \Leftrightarrow \lim(-u_n) = +\infty$.
2. Giới hạn đặc biệt (2)
- $\lim n^k = +\infty$ với mọi $k>0$;
- $\lim q^n = +\infty$ với mọi $q>1$.
3. Quy tắc tìm giới hạn vô cực
Quy tắc 1: "$\infty.\infty$"
Nếu $\lim u_n = \pm \infty, \lim v_n = \pm \infty$ thì $\lim(u_nv_n)$ được cho bởi bảng sau:
| $\lim u_n$ |
$\lim v_n$ |
$\lim (u_n . v_n)$ |
| $+\infty$ |
$+\infty$ |
$+\infty$ |
| $+\infty$ |
$-\infty$ |
$-\infty$ |
| $-\infty$ |
$+\infty$ |
$-\infty$ |
| $-\infty$ |
$-\infty$ |
$+\infty$ |
Quy tắc 2: " $\infty$. Số "
Nếu $\lim u_n = \pm \infty, \lim v_n = L \ne 0$ thì $\lim(u_nv_n)$ được cho bởi bảng sau:
| $\lim u_n$ |
Dấu của $L$ |
$\lim (u_n . v_n)$ |
| $+\infty$ |
$+$ |
$+\infty$ |
| $+\infty$ |
$-$ |
$-\infty$ |
| $-\infty$ |
$+$ |
$-\infty$ |
| $-\infty$ |
$-$ |
$+\infty$ |
Quy tắc 3: " Số / $0$ "
Nếu $\lim u_n = l \ne 0, \lim v_n = 0$ và $ v_n \ne 0$ thì $\lim(u_nv_n)$ được cho bởi bảng sau:
| Dấu của $l$ |
Dấu của $v_n$ |
$\lim \dfrac{u_n}{v_n}$ |
| $+$ |
$+$ |
$+\infty$ |
| $+$ |
$-$ |
$-\infty$ |
| $-$ |
$+$ |
$-\infty$ |
| $-$ |
$-$ |
$+\infty$ |
Toán 11 (chương trình cũ)