Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Hướng dẫn giải:

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy riêng để đầy bể là x (giờ, x > 5)

Gọi thời gian vòi thứ hai chảy riêng để đầy bể là y (giờ, y > 5)

Một giờ vòi thứ nhất chảy được số phần bể nước là: \(\frac{1}{x}\)  (bể nước)

Một giờ vòi thứ hai chảy được số phần bể nước là: \(\frac{1}{y}\)  (bể nước)

Một giờ cả hai chảy vòi chảy được số phần bể nước là: \(\frac{1}{5}\)  (bể nước)

Theo bài ra ta có hê \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{5}\\\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\) 

Đặt \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b\) , ta có hệ mới:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=\dfrac{1}{5}\\2a+b=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}\\a+b=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{20}\\b=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{20}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{20}\\b=\dfrac{3}{20}\end{matrix}\right.\)

Quay về hệ cũ, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{20}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{20}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=20\\y=\dfrac{20}{3}\end{matrix}\right.\) (tm)

Vậy nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể sau 20 giờ.

Ta có \(\frac{20}{3}=6\frac{2}{3}\) nên nếu chảy riêng thì vòi thứ hai chảy đầy bể sau 6 giờ 40 phút.

Hướng dẫn giải:

Gọi thời gian để đội I làm riêng và hoàn thành công việc là x (ngày, \(x\in N,x>9\))

Thời gian để đội II làm riêng và hoàn thành công việc là x - 9  (ngày)

Mỗi ngày đội I hoàn thành được số phần công việc là: \(\frac{1}{x}\) (công việc)

Mỗi ngày đội II hoàn thành được số phần công việc là: \(\frac{1}{x-9}\) (công việc)

Mỗi ngày đội I và đội II cùng làm thì hoàn thành được số phần công việc là: \(\frac{1}{6}\) (công việc)

Theo bài ra ta có phương trình : \(\frac{1}{x-9}+\frac{1}{x}=\frac{1}{6}\)

\(\Leftrightarrow\frac{6x+6\left(x-9\right)-x\left(x-9\right)}{6x\left(x-9\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow6x+6\left(x-9\right)-x\left(x-9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-21x+54=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(l\right)\\x=18\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy đội thứ nhất làm riêng thì sau 18 ngày thì xong.

Đội thứ hai làm riêng thì cần số ngày là: 18 - 9 = 9 (ngày)

Vậy đội thứ nhất cần 18 ngày, đội thứ hai cần 9 ngày để làm riêng và hoàn thành công việc.

Hướng dẫn giải:

Gọi thời gian để đội 1 một mình hoàn thành công việc là x (ngày,  x > 12)

Gọi thời gian để đội 2 một mình hoàn thành công việc là y (ngày,  y > 12)

Trong 1 ngày, đối 1 và đội 2 làm được khối lượng công việc lần lượt là \(\frac{1}{x};\frac{1}{y}\)

Vì nếu cả hai đội cùng làm thì sẽ hoàn thành công việc sau 12 ngày nên \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\)

Khi tăng năng suất lên gấp đôi thì mỗi ngày đội hai làm được số lượng công việc là \(\frac{2}{y}\)

Theo bài ta ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\\8\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+3,5.\dfrac{2}{y}=1\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{8}{x}+\dfrac{15}{y}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{y}=\dfrac{2}{3}\\\dfrac{8}{x}+\dfrac{15}{y}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{7}{y}=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\\y=21\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=28\\y=21\end{matrix}\right.\)(tm)

Vậy đội 1 làm một mình thì sau 28 ngày sẽ xong công việc, đội 2 làm một mình thì sau 21 ngày sẽ xong công việc.

Hướng dẫn giải:

Gọi thời gian để vòi 1 chảy riêng mà đầy bể là x (giờ, \(x>4\frac{4}{5}\))

Gọi thời gian để vòi 2 chảy riêng mà đầy bể là y (giờ, \(y>4\frac{4}{5}\) )

Mỗi giờ, vòi 1 và vòi 2 chảy được lần lượt là \(\frac{1}{x};\frac{1}{y}\) (bể nước)

Vì hai vòi nước chảy chung vào một bể thì sau \(4\frac{4}{5}\) giờ thì đầy bể nên \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4\frac{4}{5}}=\frac{5}{24}\)

Theo bài ra ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{5}{24}\\\dfrac{1}{x}=1\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{y}\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{5}{24}\\\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{2y}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{2y}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{5}{24}\\\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{2y}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{5}{2y}=\dfrac{5}{24}\\\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{2y}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=12\\\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{2y}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=8\\y=12\end{matrix}\right.\)(tm)

Vậy vòi 1 chảy riêng thì sau 8 giờ đầy bể, vòi 2 chảy riêng thì sau 12 giờ đầy bể.

Hướng dẫn giải:

Gọi thời gian để người thứ nhất làm riêng mà hoàn thành công việc là x (giờ, x > 16)

Gọi thời gian để người thứ hai làm riêng mà hoàn thành công việc là y (giờ, y > 16)

Mỗi giờ, người thứ nhất và người thứ hai làm được số phần công việc lần lượt là \(\frac{1}{x};\frac{1}{y}\) 

Do hai người thợ cùng làm một công việc thì sau 16 giờ thì xong nên \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16}\)

Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm được số phần công việc là \(\frac{3}{x}+\frac{6}{y}\)

Theo bài ra ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{16}\\\dfrac{3}{x}+\dfrac{6}{y}=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y}=\dfrac{3}{16}\\\dfrac{3}{x}+\dfrac{6}{y}=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{16}\\\dfrac{3}{y}=\dfrac{1}{16}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{16}\\y=48\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=24\\y=48\end{matrix}\right.\)(tmđk)

Vậy người thứ nhất làm riêng thì sau 24 giờ sẽ xong công việc, người thứ hai cần 48 giờ.

Hướng dẫn giải:

Gọi số ngày đội 1 làm trên đoạn đường này là x (ngày)

Số ngày đội 2 làm trên đoạn đường này là  y (ngày)

Mỗi ngày đội 1 làm được số phần đoạn đường là:  \(\dfrac{1}{x}\) (đoạn đường)

Mỗi ngày đội 2 làm được số phần đoạn đường là:  \(\dfrac{1}{y}\) (đoạn đường)

Mỗi ngày cả hai đội làm được số phần đoạn đường là:  \(\dfrac{1}{45}\) (đoạn đường)

Vậy ta có phương trình :     \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{45}\) (1)

Thời gian đội một làm nửa đoạn đường là \(\dfrac{x}{2}\) ngày, đội hai làm nửa quãng đường là \(\dfrac{y}{2}\) ngày. Ta có phương trình: \(\dfrac{y}{2}-\dfrac{x}{2}=28\). (2)

Giải hệ phương trình gồm (1) và (2) ta được \(\left\{{}\begin{matrix}x=70\\y=126\end{matrix}\right.\).

Hướng dẫn giải:

Gọi thời gian mỗi đội phải hoàn thành công việc theo kế hoạch là x (ngày, x \(\in\) N^* , x  >2)

Thời gian đội 1 đã làm là: x - 2 (ngày)

Thời gian đội 2 đã làm là x + 2 (ngày)

Mỗi ngày đội 1 trồng được \(\dfrac{40}{x-2}\left(ha\right)\)

Mỗi ngày đội 2 trồng được \(\dfrac{90}{x+2}\left(ha\right)\)

Theo bài ra ta có phương trình:

\(\dfrac{40}{x-2}.\left(x+2\right)=\dfrac{90}{x+2}\left(x-2\right)\)

\(\Leftrightarrow40\left(x+2\right)^2=90\left(x-2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow50x^2-520x+200=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=10\\x=\dfrac{2}{5}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy theo kế hoạch, mỗi đội phải hoàn thành công việc trong 10 ngày.