Bài 6: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Hướng dẫn giải:

a) Tam giác $ABC$ có $AB=AC$ nên là tam giác cân tại $A$.

Ta lại có $AO$ là tia phân giác của góc $A$ nên $AO \perp BC$.

b) Gọi $H$ là giao điểm của $AO$ và $BC$.

Dễ chứng minh $BH=HC$.

Tam giác $CBD$ có $CH=HB, CO=OD$ nên $BD / / HO$

Do đó $BD / / AO$.

c) $AC^{2}=AO^{2}-OC^{2}=4^{2}-2^{2}=12$ suy ra $AC=\sqrt{12}=2 \sqrt{3}$(cm).

Ta có: $\sin{\widehat{OAC}}=\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$ nên $\widehat{OAC}=30^{\circ}, \widehat{BAC}=60^{\circ}$.

Tam giác $ABC$ cân có $\widehat{A}=60^{\circ}$ nên là tam giác đều.

Do đó $AB=BC=AC=2 \sqrt{3}$(cm).

Hướng dẫn giải:

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: $DM=DB, EM=EC$.

Chu vi tam giác $ADE$ bằng :

$AD+DE+AE=AD+DM+ME+EA$

$=AD+DB+EC+AE$

$=AB+AC=2 . AB$ .

Hướng dẫn giải:

Gọi $O$ là tâm của một đường tròn bất kì tiếp xúc với hai cạnh của góc $xAy$.

Khi đó, $\widehat{OAx}=\widehat{OAy}$

Vậy tâm của các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc $xAy$ nằm trên tia phân giác của góc $xAy$.

Hướng dẫn giải:

Tâm $O$ là giao điểm của đường vuông góc với $Ax$ tại $B$ và tia phân giác của góc $xAy$.

Hướng dẫn giải:

a) $OC$ và $OD$ là các tia phân giác của hai góc kề bù $\widehat{AOM}$, $\widehat{BOM}$ nên $OC \perp OD$.

Vậy $\widehat{COD}=90^{\circ}$.

b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: $CM=AC, DM=BD$

Do đó $CD=CM+DM=AC+BD$.

c) Ta có: $AC.BD=CM.MD$

Xét tam giác $COD$ vuông tại $O$ và $OM \perp CD$ nên ta có

$CM. MD=OM^{2}=R^{2}$ ($R$ là bán kính của đường tròn $O$).

Vậy $AC.BD=R^2$ (không đổi).

Hướng dẫn giải:

a) $AB+AC-BC$

$=(AD+BD)+(AF+FC)-(BE+EC) $

$=(AD+AF)+(BD-BE)+(FC-EC)$

Do $BD=BE, FC=EC, AD=AF$ nên

$AB+AC-BC=2AD$.

b) $2 BE=BA+BC-AC$

$2 CF=CA+CB-AB$.

Hướng dẫn giải:

Gọi $O$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều $ABC$, $H$ là tiếp điểm thuộc $BC$.

Đường phân giác $AO$ của góc $A$ cũng là đường cao nên $A$, $O$, $H$ thẳng hàng.

$\mathrm{HB}=\mathrm{HC}$, $\widehat{HAC}=30^{\circ}$

$AH=3\cdot OH=3$(cm)

$HC=AH \cdot tan 30^{\circ}=3 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$(cm)

$S_{ABC}=\dfrac{1}{2} BC.AH=HC.AH=3 \sqrt{3}$(cm$^{2}$)

Vì thế, câu trả lời (D) là đúng.