Bài 17. Tính chất đường phân giác của tam giác

1. ĐỊNH LÍ

- Tính chất đường phân giác của tam giác

Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy.

- Ví dụ: $AD$ là đường phân giác của tam giác $ABC$ nên $\dfrac{BD}{CD} = \dfrac{AB}{AC}$. 

2. CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ

Vẽ đường thẳng qua $B$, song song với $AD$, cắt đường thẳng $AC$ tại $E$.

Theo giả thiết, $AD$ là phân giác của góc $A$ nên $\widehat{A_1} = \widehat{A_2}$.

Ta có $EB$ // $AD$ nên $\widehat{A_1} = \widehat{B_1}$ (hai góc so le trong);

$\widehat{A_2} = \widehat{E}$ (hai góc đồng vị).

Do đó, $\widehat{B_1} = \widehat{E} (= \widehat{A_1} = \widehat{A_2})$ nên tam giác $AEB$ cân tại $A$.

Suy ra $AE = AB$  (1)

Mặt khác, áp dụng định lí Thalès vào tam giác $CEB$, ta có:

$\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AE}{AC}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$.

3. LUYỆN TẬP – VẬN DỤNG