Bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn. Hệ thức Vi-et và ứng dụng

​a) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là   \(m\ne0\) và \(\Delta'=7m+4\ge0\), tức là

\(-\dfrac{4}{7}\le m< 0;0< m< +\infty\).

b) Theo Viet ta có        \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2m+4}{m}=2+\dfrac{4}{m}\\x_1x_2=\dfrac{m-3}{m}=1-\dfrac{3}{m}\end{matrix}\right.\). Khử m từ hệ này bằng cách tính \(\dfrac{1}{m}\) theo \(x_1+x_2\)  rồi thế vào biểu thức  \(x_1x_2\). Ta được hệ thức giữa \(x_1,x_2\) không phụ thuộc m:

                                            \(3\left(x_1+x_2\right)+4x_1x_2=10\)

​a) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là   \(m\ne0\) và \(\Delta'=7m+4\ge0\), tức là

\(-\dfrac{4}{7}\le m< 0;0< m< +\infty\).

b) Theo Viet ta có        \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2m+4}{m}=2+\dfrac{4}{m}\\x_1x_2=\dfrac{m-3}{m}=1-\dfrac{3}{m}\end{matrix}\right.\). Khử m từ hệ này bằng cách tính \(\dfrac{1}{m}\) theo \(x_1+x_2\)  rồi thế vào biểu thức  \(x_1x_2\). Ta được hệ thức giữa \(x_1,x_2\) không phụ thuộc m:

                                            \(3\left(x_1+x_2\right)+4x_1x_2=10\)

​a) \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-m^2-3=2m-2\ge0\Leftrightarrow m\ge1\).

b) Theo Viet ta có   

                       \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=m^2+3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=\dfrac{x_1+x_2-2}{2}\\x_1x_2=m^2+3\end{matrix}\right.\)

Suy ra      \(x_1x_2=\left(\dfrac{x_1+x_2-2}{2}\right)^2+3\Leftrightarrow\left(x_1+x_2-2\right)^2-4x_1x_2+12=0\)

​Phương trình đã cho sẽ có 2 nghiệm khi  \(\Delta=m^2-4m-4=\left(m-2\right)^2-8\ge0\)

\(\Leftrightarrow m-2\ge2\sqrt{2}\) hoặc \(m-2\le-2\sqrt{2}\) hay  \(m\le2-2\sqrt{2};m\ge2+2\sqrt{2}\).

Khi đó, theo Viet ta có    

                   \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=m+1\end{matrix}\right.\)     \(\Rightarrow x_1+x_2+x_1x_2=1\)

​a)  \(\Delta=\left(m+4\right)^2-4\left(2m+3\right)=m^2+4>0,\forall m\) . Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b) Theo Vi-et ta có

                                         \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m-4\\x_1x_2=2m+3\end{matrix}\right.\)

Từ phương trình thứ nhất suy ra  \(m=-x_1-x_2-4\) , thế vào phương trình thứ hai ta có       \(x_1x_2=-2\left(x_1+x_2+4\right)+3\)

​a) Phương trình có \(\Delta=\left(m-4\right)^2\ge0,\forall m\). Do đó phương trình luôn có hai nghiệm.

b) Theo Viet ta có   \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=2m-4\end{matrix}\right.\), từ đó \(2\left(x_1+x_2\right)+x_1x_2=-4\)

​a)  \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-2m-1=m^2\ge0,\forall m\). Phương trình luôn có nghiệm.

b) Theo Viet ta có    \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m+1\end{matrix}\right.\), suy ra

                                       \(x_1+x_2-x_1x_2=1\)

​Theo Viet ta có    \(x_1+x_2=\dfrac{-\left(m-2\right)}{m}=-1+\dfrac{2}{m}\) và   \(x_1x_2=\dfrac{3}{m}\). Từ đó

                          \(3\left(x_1+x_2\right)-2x_1x_2=-3\)

​Theo Viet ta có   \(x_1+x_2=\dfrac{2m}{m-3}\) và \(x_1x_2=\dfrac{6m}{m-3}\) suy ra

                                          \(3\left(x_1+x_2\right)=x_1x_2\)