Bài 4: Phép nhân và phép chia hết hai số nguyên

1. Nhân hai số nguyên khác dấu

Quy tắc nhân hai số nguyên khác dấu

- Tích của hai số nguyên khác dấu luôn luôn là một số nguyên âm.

- Khi nhân hai số nguyên khác dấu, ta nhân số dương với số đối của số âm rồi thêm dấu (\(-\)) trước kết quả nhận được.

Chú ý: Cho hai số nguyên dương \(a\) và \(b\), ta có:

\(\left(+a\right).\left(-b\right)=-a.b\)

\(\left(-a\right).\left(+b\right)=-a.b\)

Ví dụ: 

a) \(3.\left(-2\right)=-\left(3.2\right)=-6\);

b) \(\left(-7\right).9=-\left(7.9\right)=-63\);

c) \(\left(-3\right).\left(+20\right)=-\left(3.20\right)=-60\);

d) \(\left(+3\right).\left(-20\right)=-\left(3.20\right)=-60\).

2. Nhân hai số nguyên cùng dấu

a) Nhân hai số nguyên dương

Nhân hai số nguyên dương chính là nhân hai số tự nhiên khác 0.

b) Nhân hai số nguyên âm

Quy tắc nhân hai số nguyên cùng dấu

- Khi nhân hai số nguyên cùng dương, ta nhân chúng như nhân hai số tự nhiên.

- Khi nhân hai số nguyên âm, ta nhân hai số đối của chúng.

Chú ý: 

• Cho hai số nguyên dương \(a\) và \(b\), ta có: \(\left(-a\right).\left(-b\right)=\left(+a\right).\left(+b\right)=a.b\).
• Tích của hai số nguyên cùng dấu luôn luôn là một số nguyên dương.

Ví dụ:  \(\left(-3\right).\left(-20\right)=3.20=60\).

3. Tính chất của phép nhân các số nguyên

Phép nhân các số nguyên có các tính chất:

• Giao hoán: \(a.b=b.a\);
• Kết hợp: \(\left(a.b\right).c=a.\left(b.c\right)\);
• Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: \(a\left(b+c\right)=ab+ac\);

          Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ: \(a\left(b-c\right)=ab-ac\).

Ví dụ: Tính một cách hợp lí:

a) \(\left(-7\right).4.\left(-5\right)\);

b) \(\left(-8\right).4+\left(-8\right).6\);

c) \(\left(-411\right).92.0\).

Giải

a) \(\left(-7\right).4.\left(-5\right)=\left(-7\right).\left[4.\left(-5\right)\right]=\left(-7\right).\left(-20\right)=140\).

b) \(\left(-8\right).4+\left(-8\right).6=\left(-8\right).\left(4+6\right)=\left(-8\right).10=-80\).

c) \(\left(-411\right).92.0=0\).

4. Quan hệ chia hết trong tập hợp số nguyên

Cho \(a,b\inℤ\) và \(b\ne0\). Nếu có số nguyên \(q\) sao cho \(a=bq\) thì

• Ta nói \(a\) chia hết cho \(b\), kí hiệu là \(a⋮b\).
• Trong phép chia hết, dấu của thương hai số nguyên cũng giống như dấu của tích.

Ta gọi \(q\) là thương của phép chia \(a\) cho \(b\), kí hiệu là \(a:b=q\).

Ví dụ: 

\(-15=5.\left(-3\right)\) nên ta nói:

\(-15\) chia hết cho \(-3\).

\(-15:\left(-3\right)=5\).

\(5\) là thương của phép chia \(-15\) cho \(-3\).

5. Bội và ước của một số nguyên

Cho \(a,b\inℤ\). Nếu \(a⋮b\) thì ta nói \(a\) là bội của \(b\) và \(b\) là ước của \(a\).

Nếu \(c\) vừa là ước của \(a\), vừa là ước của \(b\) thì \(c\) được gọi là ước chung của \(a\) và \(b\).

Ta kí hiệu tập hợp các ước chung của hai số nguyên \(a,b\) là ƯC\(\left(a,b\right)\).

Ví dụ: \(\left(-15\right)⋮\left(-3\right)\) nên ta nói \(-15\) là bội của \(-3\) và \(-3\) là ước của \(-15\).

Ví dụ: 

\(-3\) là ước chung của \(-15\) và \(12\).

ƯC\(\left(-15,12\right)=\left\{-1;1;-3;3\right\}\).