Bài 4: Phép cộng và phép trừ phân số

1. Phép cộng phân số

Quy tắc cộng hai phân số cùng mẫu

Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu số, ta cộng tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

Ví dụ: 

a) \(\dfrac{-3}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{-3+1}{4}=\dfrac{-2}{4}=\dfrac{-1}{2}\);

b) \(\dfrac{-3}{-8}+\dfrac{5}{-8}=\dfrac{-3+5}{-8}=\dfrac{2}{-8}=\dfrac{-1}{4}\).

Quy tắc cộng hai phân số khác mẫu

Muốn cộng hai phân số có mẫu khác nhau, ta quy đồng mẫu số của chúng, sau đó cộng hai phân số có cùng mẫu.

Ví dụ: 

\(\dfrac{3}{-4}+\dfrac{-2}{3}=\dfrac{3.3}{\left(-4\right).3}+\dfrac{\left(-2\right).\left(-4\right)}{3.\left(-4\right)}=\dfrac{9+8}{-12}=\dfrac{17}{-12}=\dfrac{-17}{12}\).

2. Một số tính chất của phép cộng phân số

Tương tự như phép cộng các số nguyên, phép cộng phân số cũng có các tính chất giao hoán và kết hợp.

• Tính chất giao hoán: \(a+b=b+a\);
• Tính chất kết hợp: \(\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)\).

Ví dụ: Tính hợp lí: \(\dfrac{3}{13}+\dfrac{-3}{7}+\dfrac{10}{13}+\dfrac{-4}{7}\).

Giải

\(\dfrac{3}{13}+\dfrac{-3}{7}+\dfrac{10}{13}+\dfrac{-4}{7}\)

\(=\left(\dfrac{3}{13}+\dfrac{10}{13}\right)+\left(\dfrac{-3}{7}+\dfrac{-4}{7}\right)\)

\(=\dfrac{3+10}{13}+\dfrac{\left(-3\right)+\left(-4\right)}{7}=1+\left(-1\right)=0\).

3. Số đối

Hai phân số là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.

Kí hiệu số đối của phân số \(\dfrac{a}{b}\) là \(-\dfrac{a}{b}\). Ta có: \(\dfrac{a}{b}+\left(-\dfrac{a}{b}\right)=0\).

Ví dụ: \(\dfrac{-1}{2}\) và \(\dfrac{1}{-2}\) đều là số đối của \(\dfrac{1}{2}\). Do đó: \(-\dfrac{1}{2}=\dfrac{-1}{2}=\dfrac{1}{-2}\).

4. Phép trừ hai phân số

Muốn trừ một phân số cho một phân số, ta lấy phân số thứ nhất cộng với số đối của phân số thứ hai.

Ví dụ: \(\dfrac{-5}{3}-\dfrac{7}{2}=\dfrac{-5}{3}+\dfrac{-7}{2}=\dfrac{-10}{6}+\dfrac{-21}{6}=\dfrac{-31}{6}\).

Quy tắc dấu ngoặc:

- Khi bỏ dấu ngoặc có dấu cộng (+) đằng trước, ta giữ nguyên dấu các số hạng trong ngoặc.

- Khi bỏ dấu ngoặc có dấu trừ ($-$) đằng trước, ta phải đổi dấu các số hạng trong ngoặc.

Ví dụ: 

a) \(+\left(\dfrac{1}{2}-3\right)=\dfrac{1}{2}-3=\dfrac{1}{2}-\dfrac{6}{2}=\dfrac{-5}{2}\);

b) \(-\left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{6}{7}\right)=-\dfrac{3}{4}+\dfrac{6}{7}=\dfrac{-21}{28}+\dfrac{24}{28}=\dfrac{3}{28}\).

Chú ý: Ta thực hiện được phép cộng và phép trừ phân số với số nguyên bằng cách viết số nguyên ở dạng phân số.