Bài 2. Các phép toán với đa thức nhiều biến

A. PHÉP CỘNG, PHÉP TRỪ ĐA THỨC

1. Quy tắc cộng, trừ hai đa thức

Cộng (hay trừ) hai đa thức tức là thu gọn đa thức nhận được sau khi nối hai đa thức đã cho bởi dấu “+” (hay dấu “-”)

+ Bước 1. Viết đa thức tổng (hiệu) theo hàng ngang: $A + B$ (hay $A- B$);

+ Bước 2. Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau;

+ Bước 3. Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được tổng (hiệu) cần tìm.

- Quy tắc bỏ ngoặc:

- Ví dụ: Cho hai đa thức: $A = x^2y + 3 - 5x$ và $B = x^2y + x - 2 + xy$. Tính $A + B$.

$A + B  =  (x^2y + 3 - 5x) + (x^2y + x - 2 + xy) =  x^2y + 3 - 5x + x^2y + x - 2 + xy$

          $=  (x^2y + x^2y)+ (x - 5x)+ xy+ (3 - 2)=  2x^2y+ (-4x)+ xy+ 1$

          $=  2x^2y - 4x + xy + 1$.

2. Phép cộng, trừ nhiều đa thức

- Phép cộng đa thức cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp.

- Nếu $A - B = C$ thì $A = B + C$, nếu $A = B + C$ thì $A - B = C$.

B. PHÉP NHÂN ĐA THỨC

1. Nhân đơn thức với đa thức

Quy tắc:

Muốn nhân hai đơn thức, ta nhân hai hệ số với nhau và nhân hai phần biến với nhau.

Ví dụ: Thực hiện phép nhân:

$\left(-\dfrac13xy^3\right).(9x^2yz) = \left(-\dfrac13.9\right).(xy^3).(x^2yz) = -3x^3y^4z$.

2. Nhân đơn thức với đa thức

Quy tắc:

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích lại với nhau.

Ví dụ: Thực hiện phép nhân: $(-4xy).(2x^2 + xy - y^2)$.

$(-4xy).(2x^2 + xy - y^2) = (-4xy).2x^2 + (-4xy).xy + (-4xy).(-y^2) = -8x^3y - 4x^2y^2 + 4xy^3$.

3. Nhân hai đa thức

Quy tắc:

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Ví dụ: Thực hiện phép nhân $(x + 3y + 2)(x + y)$.

$(x + 3y + 2)(x + y) = x^2 + xy + 3xy + 3y^2 + 2x + 2y = x^2 + 4xy + 3y^2 + 2x + 2y.$

Chú ý:

+ Phép nhân đa thức cũng có các tính chất tương tự phép nhân số như:

A . B = B . A (giao hoán);     (A . B) . C = A . (B . C) (kết hợp);

A . (B + C) = A . B + A . C (phân phối đối với phép cộng).

+ Nếu A, B, C là những đa thức tùy ý thì A . B . C = (A . B) . C = A . (B . C).

C. PHÉP CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC

1. Chia đơn thức cho đơn thức

- Đơn thức A chia hết cho đơn thức B (B $\ne$ 0) khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A.

- Quy tắc

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trong trường hợp chia hết), ta làm như sau:

+ Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B;

+ Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B;

+ Nhân các kết quả tìm được với nhau.

- Ví dụ: $A = -15x^2y^2$ chia hết cho $B = 3x^2y$ vì số mũ của các biến $x$ (bằng $2$), biến $y$ (bằng $1$) trong $B$ không lớn hơn số mũ của các biến $x$, $y$ (cùng bằng $2$) trong $A$.

Ta có $A \, : \, B = (-15x^2y^2) \, : \, (3x^2y) = -5x$.

2. Chia đa thức cho đơn thức

- Đa thức A chia hết cho đơn thức B nếu mọi hạng tử của A đều chia hết cho B.

- Quy tắc

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trong trường hợp chia hết), ta chia từng hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.

- Ví dụ: Thực hiện phép chia $(15x^2y^4 - 4x^3y^3 + 20x^2y) \, : \, 5x^2y$.

$(15x^2y^4 - 4x^3y^3 + 20x^2y) \, : \, 5x^2y = (15x^2y^4 \, : \, 5x^2y) + (-4x^3y^3 \, : \, 5x^2y) + (20x^2y \, : \, 5x^2y) = 3y^3 - \dfrac45xy^2 + 4$.