Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ và $AB=3,\,\,BC=4$. Biết $\left( SBC \right)\bot \left( ABC \right)$ và $SB=2\sqrt{3},\,\,\widehat{SBC}=30{}^\circ \,$. Tính khoảng cách từ $B$ đến $\left( SAC \right)$.
Hướng dẫn giải:
Xét tam giác $SBC$ có $S{{C}^{2}}=B{{S}^{2}}+B{{C}^{2}}-2BS.BC.\cos 30^{\circ}$
$S{{C}^{2}}={{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{4}^{2}}-2.2\sqrt{3}.4.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=4$ $\Rightarrow SC=2$.
Nhận thấy $B{{C}^{2}}=S{{B}^{2}}+S{{C}^{2}}$ $\Rightarrow \Delta BSC$ vuông tại $S$.
Ta có $\left( SBC \right)\bot \left( ABC \right)$ theo giao tuyến là $BC$.
Kẻ $SH\bot BC$ suy ra $SH\bot \left( ABC \right)$.
Trong tam giác vuông $BSC$ có $HS=\dfrac{SB.SC}{BC}=\dfrac{2\sqrt{3}.2}{4}=\sqrt{3}$,
$HB=\dfrac{B{{S}^{2}}}{BC}=\dfrac{{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}}{4}=3$ và $HC=\dfrac{S{{C}^{2}}}{BC}=\dfrac{{{2}^{2}}}{4}=1$.
Khi đó $d\left( B,\,\left( SAC \right) \right)=4.d\left( H,\,\,\left( SAC \right) \right)$.
Kẻ $HE\bot AC$ và $HK\bot SE$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned} & AC\bot HE \\ & AC\bot SH \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow AC\bot \left( SHE \right)$
Khi đó $\left\{ \begin{aligned} & HK\bot SE \\ & HK\bot AC \\ \end{aligned} \right.\,\,\Rightarrow HK\bot \left( SAC \right)$, suy ra $d\left( H,\,\,\left( SAC \right) \right)=HK$.
Mà $\sin \widehat{ACB}=\dfrac{HE}{HC}=\dfrac{AB}{AC}$
$\Rightarrow HE=\dfrac{HC.AB}{AC}=\dfrac{1.3}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=\dfrac{3}{5}$.
Vậy $d\left( B,\,\left( SAC \right) \right)=4.d\left( H,\,\,\left( SAC \right) \right)=4HK=4.\dfrac{HE.HS}{\sqrt{H{{E}^{2}}+H{{S}^{2}}}}=\dfrac{6\sqrt{7}}{7}$.