1. Cơ sở lý thuyết
Cho hai hàm số $u$ và $v$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và có đạo hàm liên tục trên đoạn $[a;b]$. Khi đó:
$\displaystyle \int u\text{d}v = uv - \displaystyle \int v \text{d}u$ (*)
2. Phương pháp
+ Bước 1: Chọn $u$, $v$ sao cho $f(x)\text{d}x = u\text{d}v$ (chú ý $\text{d}v = v'(x)\text{d}x)$.
+ Bước 2: Tính $v = \displaystyle \int\text{d}v$ và $\text{d}u = u'.\text{d}x$.
+ Bước 3: Thay vào công thức (*) và tính $\displaystyle \int v \text{d}u$.
3. Các dạng thường gặp
- Dạng 1: $I = \displaystyle \int P(x).\sin x\text{d}x$ hoặc $I = \displaystyle \int P(x).\cos x\text{d}x$
Trong đó, $P(x)$ là đa thức.
Ta đặt $u = P(x)$ và $\text{d}v = \sin x \text{d}x$ (hoặc $\cos x$).
- Dạng 2: $I = \displaystyle \int P(x).e^{ax+b}\text{d}x$
Trong đó, $P(x)$ là đa thức.
Ta đặt $u = P(x)$ và $\text{d}v = e^{ax+b} \text{d}x$.
- Dạng 3: $I = \displaystyle \int P(x).\ln (mx+n)\text{d}x$
Trong đó, $P(x)$ là đa thức.
Ta đặt $u = \ln(mx+n)$ và $\text{d}v = P(x)\text{d}x$.
- Dạng 4: $I = \displaystyle \int \sin x.e^x\text{d}x$ hoặc $I = \displaystyle \int \cos x.e^x\text{d}x$
Ta đặt $u = \sin x$ (hoặc $u = \cos x$) và $\text{d}v = e^x\text{d}x$.
4. Bảng tính nhanh nguyên hàm từng phần
Toán 12