Chuyên đề: Phương trình lượng giác

Hướng dẫn giải:

\(\sin2x-2\sin^2x=2\cos2x\)

\(\Leftrightarrow2\sin^2x-2\sin x\cos x+4\cos^2x-2=0\)

Xét  \(\cos x=0\), phương trình thỏa mãn.

Suy ra \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\left(k\in\mathbb{Z}\right)\) là nghiệm của phương trình.

Xét \(\cos x\ne0\), chia cả hai vế của phương trình cho \(\cos^2x\) ta được:

\(2\tan^2x-2\tan x-2\left(1+\tan^2x\right)+4=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\tan x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)

Vậy các nghiệm của phương trình là \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) và \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\left(k\in\mathbb{Z}\right)\).

Hướng dẫn giải:

\(\sin2x-2\sin x-2\cos x+2=0\)

\(\Leftrightarrow\sin x\cos x-\sin x-\cos x+1=0\)(1)

Đặt \(t=\sin x+\cos x\) \(\left(-\sqrt{2}\le t\le\sqrt{2}\right)\)

\(\sin x.\cos x=\dfrac{t^2-1}{2}\)

Phương trình (1) trở thành: 

\(\dfrac{t^2-1}{2}-t+1=0\Leftrightarrow\left(t-1\right)^2=0\) \(\Leftrightarrow t=1\)( Thỏa mãn điều kiện của \(t\))

\(t=1\Leftrightarrow\) \(\sin x+\cos x=1\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k2\pi\\x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\end{matrix}\right.\)\(\left(k\in\mathbb{Z}\right)\)

Vậy \(\left[{}\begin{matrix}x=k2\pi\\x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\end{matrix}\right.\)\(\left(k\in\mathbb{Z}\right)\).

Hướng dẫn giải:

\(\cos x.\cos3x-\sin2x.\sin6x-\sin4x.\sin6x=0\left(1\right)\)

(Dạng phương trình biến đổi tích thành tổng)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(\cos4x+\cos2x\right)-\dfrac{1}{2}\left(\cos4x-\cos8x\right)-\dfrac{1}{2}\left(\cos2x-\cos10x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\cos10x+\cos8x=0\)\(\Leftrightarrow2\cos9x.\cos x=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\cos9x=0\\\cos x=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{k\pi}{9}\\x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\end{matrix}\right.\)\(\left(k\in\mathbb{Z}\right)\)

Vậy các nghiệm của phương trình là \(x=\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{k\pi}{9}\) và \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) \(\left(k\in\mathbb{Z}\right)\).

Hướng dẫn giải:

\(\sin5x-\sin4x+\sin3x\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\sin3x+\sin5x\right)-\sin4x=0\)

\(\Leftrightarrow2\sin4x.\cos x-\sin4x=0\)

\(\Leftrightarrow\sin4x\left(2\cos x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sin4x=0\\2\cos x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{k\pi}{4}\\x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\x=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)\(\left(k\in\mathbb{Z}\right)\)

Vậy các nghiệm của phương trình là \(x=\dfrac{k\pi}{4}\), \(x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\) và  \(x=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\) \(\left(k\in\mathbb{Z}\right)\).