Bài 3: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt{0,09.64}=\sqrt{0,09}.\sqrt{64}=0,3.8=2,4$.

b) $\sqrt{2^4.(-7)^2}=\sqrt{2^4}.\sqrt{(-7)^2}=2^2.|-7|=4.7=28$.

c) $\sqrt{12,1.360}=\sqrt{121.36}=\sqrt{11^2.6^2}=\sqrt{11^2}.\sqrt{6^2}=11.6=66$.

d) $\sqrt{2^2.3^4}=\sqrt{2^2}.\sqrt{3^4}=2.3^2=18$.

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt{7}.\sqrt{63}=\sqrt{7.63}=\sqrt{7.7.3^2}=\sqrt{(7.3)^2}=7.3=21$.

b) $\sqrt{2,5}.\sqrt{30}.\sqrt{48}=\sqrt{2,5.30.48}=\sqrt{25.3.48}$

$\sqrt{5^2.3.3.4^2}=\sqrt{(5.3.4)^2}=5.3.4=60$.

c) $\sqrt{0,4}.\sqrt{6,4}=\sqrt{0,4.6,4}=\sqrt{0,04.64}$

$=\sqrt{0,2^2.8^2}=\sqrt{(0,2.8)^2}=0,2.8=1,6$.

d) $\sqrt{2,7}.\sqrt{5}.\sqrt{1,5}=\sqrt{2,7.5.1,5}$

$=\sqrt{3^2.0,3.5.5.0,3}=\sqrt{(3.0,3.5)^2}=4,5$.

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt{0,36a^2}=\sqrt{0,36}.\sqrt{a^2}=0,6.|a|=-0,6a$ (do $a<0$ nên $|a|=-a$).

b) $\sqrt{a^4.(3-a)^2}=\sqrt{a^4}.\sqrt{(3-a)^2}=a^2.|3-a|=a^2(a-3)$

(do $a>3$ nên $a-3>0$ $\Rightarrow$ $|3-a|=a-3$).

c) $\sqrt{27.48.(1-a)^2}=\sqrt{3^3.3.4^2.(1-a)^2}=\sqrt{3^4.4^2.(1-a)^2}$

$=\sqrt{3^4}.\sqrt{4^2}.\sqrt{(1-a)^2}=3^2.4.|1-a|$

$=36(a-1)$ (do $a>1$ $\Rightarrow$ $a-1>0$ nên $|1-a|=a-1$).

d) $\dfrac{1}{a-b}.\sqrt{a^4.(a-b)^2}=\dfrac{1}{a-b}.\sqrt{a^4}.\sqrt{(a-b)^2}$

$=\dfrac{1}{a-b}.a^2.|a-b|$

$=\dfrac{1}{a-b}.a^2.(a-b)=a^2$ (do $a>b$ $\Rightarrow$ $a-b>0$ nên $|a-b|=a-b$).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\sqrt{\dfrac{2a}{3}}.\sqrt{\dfrac{3a}{8}}=\sqrt{\dfrac{2a}{3}.\dfrac{3a}{8}}$

$=\sqrt{\dfrac{2a.3a}{3.8}}=\sqrt{\dfrac{a^2}{4}}$

$=\sqrt{\dfrac{a^2}{2^2}}=\left|\dfrac{a}{2}\right|=\dfrac{a}{2}$ (do $a\ge 0$ $\Rightarrow$ $\dfrac{a}{2}\ge 0$ nên $\left|\dfrac{a}{2}\right|=\dfrac{a}{2}$).

b) Ta có:

$\sqrt{13a}.\sqrt{\dfrac{52}{a}}=\sqrt{13a.\dfrac{52}{a}}$ (do $a>0$)

$=\sqrt{13.52}=\sqrt{13.13.2^2}=\sqrt{(13.2)^2}$

$=13.2=26$.

c) Ta có:

$\sqrt{5a}.\sqrt{45a}-3a=\sqrt{5a.45a}-3a$ (do $a \ge 0$)

$=\sqrt{5.a.5.3^2.a}-3a=\sqrt{(5.3.a)^2}-3a$

$=|5.3.a|-3a=15a-3a=12a$ (do $a \ge 0$ $\Rightarrow$ $15a \ge 0$ nên $|15a|=15a$).

d) Ta có:

$(3-a)^2-\sqrt{0,2}.\sqrt{180a^2}=(3-a)^2-\sqrt{0,2.180a^2}$

$=(3-a)^2-\sqrt{2.18.a^2}=(3-a)^2-\sqrt{(6a)^2}$

$=(3-a)^2-|6a|=(3-a)^2-6|a|$

TH1: Nếu $a \ge 0$ thì $|a|=a$.

Khi đó, $(3-a)^2-6|a|=(3-a)^2-6a=9-6a+a^2-6a=a^2-12a+9$.

TH2: Nếu $a<0$ thì $|a|=-a$.

Khi đó, $(3-a)^2-6|a|=(3-a)^2-6.(-a)=9-6a+a^2+6a=a^2+9$.​

Hướng dẫn giải:

Cách1:

$\sqrt{12.30.40}=\sqrt{3.2^2.2.3.5.2^3.5}=\sqrt{2^6.3^2.5^2}$

$=\sqrt{(2^3.3.5)^2}=2^3.3.5=120$.

Chọn đáp án B.

Cách 2: 

$\sqrt{12.30.40}=\sqrt{12.3.10.40}=\sqrt{36.400}=\sqrt{(6.20)^2}$

$=6.20=120$.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\sqrt{13^2−12^2}=\sqrt{(13+12)(13−12)}$

                     $=\sqrt{25.1}=\sqrt{25}$

                     $=\sqrt{5^2}=|5|=5$.

b) Ta có:

$\sqrt{17^2−8^2}=\sqrt{(17+8)(17−8)}$

                    $=\sqrt{25.9}=\sqrt{25}.\sqrt{9}$

                    $=\sqrt{5^2}.\sqrt{3^2}=|5|.|3|=15$.

c) Ta có:

$\sqrt{117^2−108^2}=\sqrt{(117−108)(117+108)}$

                          $=\sqrt{9.225}$=\backslash sqrt\{\sqrt{\mathrm{9\}.\backslash sqrt\{225\}\$}}$

                          $=\sqrt{3^2}.\sqrt{15^2}=|3|.|15|$

                          $=3.15=45$.

d) Ta có:

$\sqrt{313^2−312^2}=\sqrt{(313−312)(313+312)}$

                          $=\sqrt{1.625}=\sqrt{625}$

                          $=\sqrt{25^2}=|25|=25$.

Hướng dẫn giải:

Hướng dẫn giải:

Sử dụng các công thức sau: 

+) $a^2−b^2=(a−b)(a+b)$.

+) $(\sqrt{a})^2=a$,   với $a≥0$.

Chú ý: Muốn chứng minh hai số là nghịch đảo của nhau, ta chứng minh tích của hai số bằng $1$.

a) Ta có:

$(2−\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2−(\sqrt{3})^2=4−3=1$. (đpcm)

b)

Ta tìm tích của hai số $(\sqrt{2006}−\sqrt{2005})$ và $(\sqrt{2006}+\sqrt{2005})$.

Ta có:

$(\sqrt{2006}+\sqrt{2005}).(\sqrt{2006}−\sqrt{2005})$

$= (\sqrt{2006})^2−(\sqrt{2005})^2$

$=2006−2005=1$.

Do đó  $(\sqrt{2006}+\sqrt{2005}).(\sqrt{2006}−\sqrt{2005})=1$

hay $\sqrt{2006}−\sqrt{2005}=\dfrac{1}{\sqrt{2006}+\sqrt{2005}}$

Vậy hai số trên là nghịch đảo của nhau.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: 

$\sqrt{4(1+6x+9x^2)^2}=\sqrt{4}.\sqrt{(1+6x+9x^2)^2}$

                                       $=\sqrt{4}.\sqrt{(1+2.3x+3^2.x^2)^2}$

                                       $=\sqrt{2^2}.\sqrt{[1^2+2.3x+(3x)^2]^2}$

                                       $=2.\sqrt{[(1+3x)^2]^2}$

                                       $=2.|(1+3x)^2|$

                                       $=2(1+3x)^2$.

 (Vì  $(1+3x)^2\ge 0$ với mọi $x$ nên $|(1+3x)^2|=(1+3x)^2$)

Thay $x=−\sqrt{2}$ vào biểu thức rút gọn trên, ta được: 

$2[1+3.(−\sqrt{2})]^2=2(1−3\sqrt{2})^2$.

Bấm máy tính, ta được: $2(1−3\sqrt{2})^2$ $\approx$ $21,029$.

b) Ta có:

$\sqrt{9a^2(b^2+4−4b)}=\sqrt{3^2.a^2.(b^2−4b+4)}$

                                      $=\sqrt{(3a)^2.(b^2−2.b.2+2^2)}$

                                      $=\sqrt{(3a)^2.(b-2)^2}$

                                      $=\sqrt{(3a)^2}.\sqrt{(b−2)^2}$

                                      $=|3a|.|b−2|$

Thay $a=−2$ và $b=−\sqrt{3}$ vào biểu thức rút gọn trên, ta được:

$|3.(−2)|.|−\sqrt{3}−2|=|−6|.|−\sqrt{3}-2|$

                                     $=6.(\sqrt{3}+2)=6\sqrt{3}+12$.

Bấm máy tính, ta được: $6\sqrt{3}+12$ $\approx$ $22,392$.

Hướng dẫn giải:

a) Điều kiện: $x\ge0$.

$\sqrt{16x}=8$$\mathrm{ }$

$\mathrm{}$$\Rightarrow$ $(\sqrt{16x})^2=8^2$ 

$\Rightarrow$ $16x=64$

$\Rightarrow$ $x=64:16$

$\Rightarrow$ $x=4$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy $x=4$.

b) Điều kiện: $4x\ge0$ $\Leftrightarrow$ $x\ge0$.

$\sqrt{4x}=\sqrt{5}$ 

$\Rightarrow$ $(\sqrt{4x})^2=(\sqrt{5})^2$

$\Rightarrow$ $4x=5$

$\Rightarrow$ $x=\dfrac{5}{4}$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy $x=\dfrac{5}{4}$.

c) Điều kiện: $9(x−1)\ge 0$ $\Leftrightarrow$ $x−1\ge0$ $\Leftrightarrow$ $x\ge1$.

$\sqrt{9(x−1)}=21$ 

$\Rightarrow$ $\sqrt{9}.\sqrt{x−1}=21$ (do $x-1\ge 0$)

$\Rightarrow$ $3\sqrt{x−1}=21$

$\Rightarrow$ $\sqrt{x-1}=7$

$\Rightarrow$ $x-1=49$

$\Rightarrow$ $x=50$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy $x=50$.

d) Điều kiện: $x$$\backslash (\backslash in\backslash )$ $\mathbb{R}$ (vì $4.(1−x)^2 \ge0$ với mọi $x$$)$

$\sqrt{4(1−x)^2}−6=0$

$\Rightarrow$  $2\sqrt{(1−x)^2}=6$ 

$\Rightarrow$ $|1−x|=3$ 

$\Leftrightarrow$ $\backslash (\backslash left[\{\}\backslash begin\{matrix\}1-x=3\backslash \backslash 1-x=-3\backslash end\{matrix\}\backslash right.\backslash Leftrightarrow\backslash left[\{\}\backslash begin\{matrix\}x=-2\backslash \backslash x=4\backslash end\{matrix\}\backslash right.\backslash )$

Vậy $x=-2$ hoặc $x=4$.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: 

+) $\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$.

+) $\sqrt{25}+\sqrt{9}=\sqrt{5^2}+\sqrt{3^2}$

$=5+3=8=\sqrt{8^2}=\sqrt{64}$.

Vì $34<64$ nên $\sqrt{34}<\sqrt{64}$

Vậy $\sqrt{25+9}<\sqrt{25}+\sqrt{9}$.

b) Với $a>0,b>0$ ta có:

+) $(\sqrt{a+b})^2=a+b$.

+) $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=(\sqrt{a})^2+2\sqrt{a}.\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2$

 $=a+2\sqrt{ab}+b$

 $=(a+b)+2\sqrt{ab}$. 

Vì $a>0, b>0$ nên $\sqrt{ab}>0$ $\Leftrightarrow$ $2\sqrt{ab}>0$

Do đó: $(a+b)+2\sqrt{ab}>a+b$

Hay $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2>(\sqrt{a+b})^2$

Hay $\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}$ (đpcm)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$2 = \sqrt{4} > \sqrt{3}$ nên $2.2 > 2\sqrt{3}$

Vậy $\sqrt{4} > 2\sqrt{3}$.

b) Ta có:

$\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$ nên $\sqrt{5} > 2$ $\Rightarrow$ $-\sqrt{5}<-2$

Vậy $-\sqrt{5} < -2$.