Bài 1: Phân số với tử và mẫu là số nguyên

I. KHÁI NIỆM PHÂN SỐ

Kết quả của phép chia số nguyên \(a\) cho số nguyên \(b\) khác 0 có thể viết dưới dạng \(\dfrac{a}{b}\).

Ta gọi \(\dfrac{a}{b}\) là phân số.

Lưu ý: 

Phân số \(\dfrac{a}{b}\) đọc là: \(a\) phần \(b\), \(a\) là tử số (còn gọi tắt là tử), \(b\) là mẫu số (còn gọi tắt là mẫu).

Ví dụ: Viết và đọc phân số trong mỗi trường hợp sau:

a) Tử số là 17, mẫu số là \(-5\);

b) Tử số là \(-10\), mẫu số là \(-3\).

Giải

a) Viết là: \(\dfrac{17}{-5}\); đọc là: mười bảy phần âm năm.

b) Viết là: \(\dfrac{-10}{-3}\); đọc là: âm mười phần âm ba.

Ví dụ: Viết mỗi số nguyên sau dưới dạng phân số: \(-15,-6,0\).

Giải

Ta có thể viết: 

\(-15=\dfrac{-15}{1}\); \(-6=\dfrac{-6}{1}\); \(0=\dfrac{0}{1}\).

Lưu ý:

Mọi số nguyên \(a\) có thể viết ở dưới dạng phân số là \(\dfrac{a}{1}\).

II. PHÂN SỐ BẰNG NHAU

1. Khái niệm hai phân số bằng nhau

Hai phân số được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng biểu diễn một giá trị.

2. Quy tắc bằng nhau của hai phân số

Xét hai phân số \(\dfrac{a}{b}\) và \(\dfrac{c}{d}\).

Nếu \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) thì \(a.d=b.c\). Ngược lại, nếu \(a.d=b.c\) thì \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\).

Ví dụ: Các cặp phân số sau có bằng nhau không? Vì sao?

a) \(\dfrac{2}{-5}\) và \(\dfrac{-2}{5}\);

b) \(\dfrac{1}{3}\) và \(\dfrac{2}{-6}\).

Giải

a) Do \(2.5=\left(-5\right).\left(-2\right)\) nên \(\dfrac{2}{-5}=\dfrac{-5}{2}\).

b) Do \(1.\left(-6\right)\ne3.2\) nên \(\dfrac{1}{3}\) và \(\dfrac{2}{-6}\) không bằng nhau.

Lưu ý: 

Với \(a,b\) là hai số nguyên và \(b\ne0\), ta luôn có: \(\dfrac{a}{-b}=\dfrac{-a}{b}\) và \(\dfrac{-a}{-b}=\dfrac{a}{b}\).

III. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ

1. Tính chất cơ bản

Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì ta được một phân số bằng phân số đã cho.

Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung của chúng thì ta được một phân số bằng phân số đã cho.

Lưu ý: 

Ví dụ: Viết mỗi phân số sau thành phân số bằng nó và có mẫu số là số dương:

a) \(\dfrac{5}{-7}\);

b) \(\dfrac{-7}{-15}\).

Giải

Theo tính chất cơ bản của phân số, ta có thể làm như sau:

a) \(\dfrac{5}{-7}=\dfrac{5.\left(-1\right)}{\left(-7\right).\left(-1\right)}=\dfrac{-5}{7}\);

b) \(\dfrac{-7}{-15}=\dfrac{\left(-7\right).\left(-1\right)}{\left(-15\right).\left(-1\right)}=\dfrac{7}{15}\).

Lưu ý:

Mỗi phân số đều đưa được về một phân số bằng nó và có mẫu là số dương.

2. Rút gọn về phân số tối giản

Dựa vào tính chất cơ bản của phân số, để rút gọn phân số với tử và mẫu là số nguyên về phân số tối giản ta thường làm như sau:

Bước 1. Tìm ƯCLN của tử và mẫu sau khi đã bỏ dấu "\(-\)" (nếu có)

Bước 2. Chia cả tử và mẫu cho ƯCLN vừa tìm được, ta có phân số tối giản cần tìm.

Ví dụ: Rút gọn mỗi phân số sau về phân số tối giản:

a) \(\dfrac{12}{-18}\); 

b) \(\dfrac{-15}{30}\).

Giải

a) Ta có ƯCLN\(\left(12,-18\right)=6\). Do đó \(\dfrac{12}{-18}=\dfrac{12:6}{\left(-18\right):6}=\dfrac{2}{-3}\).

b) Ta có ƯCLN\(\left(15,30\right)=15\). Do đó \(\dfrac{-15}{30}=\dfrac{\left(-15\right):15}{30:15}=\dfrac{-1}{2}\).

Ví dụ: 

a) Rút gọn phân số \(\dfrac{-3}{-9}\) về phân số tối giản.

b) Viết tất cả các phân số bằng phân số \(\dfrac{-3}{-9}\) mà mẫu là số tự nhiên có một chữ số.

Giải

a) Ta có: ƯCLN\(\left(3,9\right)=3\). Do đó: \(\dfrac{-3}{-9}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{3:3}{9:3}=\dfrac{1}{3}\).

b) Ta có: \(\dfrac{-3}{-9}=\dfrac{1}{3}\); \(\dfrac{1}{3}=\dfrac{1.2}{3.2}=\dfrac{2}{6}\); \(\dfrac{1}{3}=\dfrac{1.3}{3.3}=\dfrac{3}{9}\).

Vậy phân số \(\dfrac{-3}{-9}\) bằng các phân số có mẫu là số tự nhiên có một chữ số là: \(\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{6};\dfrac{3}{9}\).

3. Quy đồng mẫu nhiều phân số

Để quy đồng mẫu nhiều phân số, ta thường làm như sau:

Bước 1. Viết các phân số đã cho về phân số có mẫu dương. Tìm BCNN của các mẫu dương đó để làm mẫu chung

Bước 2. Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu)

Bước 3. Nhân tử và mẫu của mỗi phân số ở Bước 1 với thừa số phụ tương ứng.

Ví dụ: Quy đồng mẫu những phân số sau:

a) \(\dfrac{-1}{3}\); \(\dfrac{2}{-5}\);

b) \(\dfrac{5}{-12}\); \(\dfrac{-7}{15}\); \(\dfrac{-19}{-30}\).

Giải

a) Ta có:

 \(\dfrac{2}{-5}=\dfrac{-2}{5}\); BCNN\(\left(3,5\right)=15\);

\(15:3=5\); \(15:5=3\);

Vậy: \(\dfrac{-1}{3}=\dfrac{\left(-1\right).5}{3.5}=\dfrac{-5}{15}\); \(\dfrac{2}{-5}=\dfrac{-2}{5}=\dfrac{\left(-2\right).3}{5.3}=\dfrac{-6}{15}\).

b) Ta có:

\(\dfrac{5}{-12}=\dfrac{-5}{12}\); \(\dfrac{-19}{-30}=\dfrac{19}{30}\); BCNN\(\left(12,15,30\right)=60\);

\(60:12=5\); \(60:15=4\); \(60:30=2\);

Vậy: \(\dfrac{5}{-12}=\dfrac{-5}{12}=\dfrac{\left(-5\right).5}{12.5}=\dfrac{-25}{60}\);

         \(\dfrac{-7}{15}=\dfrac{\left(-7\right).4}{15.4}=\dfrac{-28}{60}\);

         \(\dfrac{-19}{-30}=\dfrac{19}{30}=\dfrac{19.2}{30.2}=\dfrac{38}{60}\).