Bài 3. Hằng đẳng thức đáng nhớ

1. Hằng đẳng thức

Khái niệm:

Nếu hai biểu thức P và Q nhận giá trị như nhau với mọi giá trị của biến thì ta nói P = Q là một đồng nhất thức hay là một hằng đẳng thức.

Ví dụ: 

a) Đẳng thức $2(x+y) = 2x + 2y$ là hằng đẳng thức;

b) Đẳng thức $3a = 1 - a^2$ không là hằng đẳng thức vì khi ta thay $a = 1$ thì hai vế của đẳng thức không bằng nhau.

2. Hằng đẳng thức đáng nhớ

a. Bình phương của một tổng, một hiệu

(1) $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$;

(2) $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$;

Ví dụ:

a) $102^2 = (100 + 2)^2 = 100^2 + 2.100.2 + 2^2 = 10404$;

b) $(x + 2y)^2 = x^2 + 2.x.2y + (2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$.

c) $199^2 = (200 - 1)^2 = 200^2 - 2.100 + 1^2 = 39601$;

d) $(x - \dfrac12y)^2 = x^2 - 2.x.\dfrac12y + (\dfrac12y)^2 = x^2 - xy + \dfrac14y^2$.

b. Hiệu hai bình phương

(3) $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$;

Ví dụ:

a) $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$;

b) $(x - \sqrt2)(x + \sqrt2) = x^2 - 2$.

c. Lập phương của một tổng, một hiệu

(4) $(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$;

(5) $(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$;

Ví dụ: Khai triển:

a) $(y + 2)^3 = y^3 + 3.y^2.2 + 3.y.2^2 + 2^3 = y^3 + 6y^2 + 12y + 8$;

b) Khai triển $(x - 2y)^3 = x^3 - 3.x^2.2y + 3.x.(2y)^2 - (2y)^3 = x^3 - 6x^2y + 12xy^2 - 8y^3$.

c) Viết biểu thức $27 - 27x + 9x^2 - x^3$ dưới dạng lập phương của một hiệu.

$27 - 27x + 9x^2 - x^3 = 3^3 - 3.3^2.x + 3.3.x^2 - x^3 = (3 - x)^3$.

d. Tổng, hiệu hai lập phương

(6) $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$;

(7) $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.

Ví dụ 1. Viết đa thức $8x^3 + 1$ dưới dạng tích.

$8x^3 + 1 = (2x)^3 + 1^3 = (2x+1)(4x^2 - 2x + 1)$.

Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức:

$(3x + y)(9x^2 - 3xy + y^2) - y^3 - 26x^3 = (3x)^3 + y^3 - y^3 - 26x^3 = 27x^3 - 26x^3 = x^3$.

Ví dụ 3. Viết đa thức $8x^3 - y^3$ dưới dạng tích.

$8x^3 - y^3 = (2x)^3 - y^3 = (2x-y)(4x^2 + 2xy + y^2)$.

Ví dụ 4. Viết đa thức sau dưới dạng tích:

$8x^3 - 27y^3 = (2x)^3 - (3y)^3 = (2x - 3y)(4x^2 + 6xy + 9y^2)$.