Bài 3: Phép tính luỹ thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

Luỹ thừa với số mũ nguyên âm

I. Mở rộng thương hai luỹ thừa cùng cơ số và định nghĩa luỹ thừa với số mũ nguyên âm.

Quy tắc tính thương hai luỹ thừa cùng cơ số với cơ số là số hữu tỉ.

Trong trường hợp $m>n$, ta được thương là luỹ thừa với số mũ nguyên dương.

Trong trường hợp $m=n$, ta được thương là luỹ thừa với số mũ bằng 0, từ đó xây dựng quy ước $x^0=1 (x \neq 0)$.

Trong trường hợp $m<n$, nếu ta áp dụng quy tắc trên thì ta sẽ được một luỹ thừa "hình thức" với số mũ nguyên âm. Cụ thể ta xét ví dụ sau.

\(7^3:7^5\)

Nếu áp dụng quy tắc tính thương hai luỹ thừa cùng cơ số và viết một cách "hình thức", ta được

Nếu viết phép tính này dưới dạng phân số, ta được

$7^3:7^5=\dfrac{7^3}{7^5}=\dfrac{7.7.7}{7.7.7.7.7}$

Nhận xét.

\(7^{-2}=\dfrac{1}{7^2}\left(=7^3:7^5\right)\)

Trong trường hợp tổng quát, với cơ số là số hữu tỉ, ta định nghĩa luỹ thừa với số mũ nguyên âm của một số như sau.

\(x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}\left(x\in\mathbb{Q},n\in\mathbb{N}\right)\)

II. Luyện tập.