a. Cho elip $\left( E \right):\dfrac{{{x}^{2}}}{36}+\dfrac{{{y}^{2}}}{25}=1$. Xác định tiêu điểm, tiêu cự, trục lớn, trục bé, tâm sai của elip đó .
b. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ cân tại $A\left( -1\,;\,4 \right)$, đường thẳng $BC$ có phương trình$\,x-y-4=0$. Xác định tọa độ của $B$ và $C$ biết diện tích của tam giác $ABC$ bằng $18$ .
Hướng dẫn giải:
Đặt $\left( E \right):\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1,\,\,\left( a>b>0 \right)$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned} & {{a}^{2}}=36 \\ & {{b}^{2}}=25 \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=6 \\ & b=5 \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow c=\sqrt{11}$.
Tiêu điểm: ${{F}_{1}}\left( -\sqrt{11};0 \right),\,\,{{F}_{2}}\left( \sqrt{11}\,;0 \right)$.
Tiêu cự: ${{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c=2\sqrt{11}$.
Trục lớn: ${{A}_{1}}{{A}_{2}}=2a=12$. Trục bé: ${{B}_{1}}{{B}_{2}}=2b=10$.
Tâm sai: $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{11}}{6}$.
b.
+ Gọi $H$ là trung điểm của $BC$
$\Rightarrow $ $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $BC$.
+ Gọi $\Delta $ là đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $BC$
$\Rightarrow $ phương trình $\Delta \,:x+y-3=0$.
+ Vì $H$ là giao điểm của $BC$ và $\Delta $
$\Rightarrow $ Tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned} & x+y-3=0 \\ & x-y-4=0 \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=\dfrac{7}{2} \\ & y=-\dfrac{1}{2} \\ \end{aligned} \right.$
$\Rightarrow H\left( \dfrac{7}{2}\,;\,-\dfrac{1}{2} \right)$.
+ Ta có: $B\in BC\Rightarrow B\left( a\,;\,a-4 \right)$.
$C$ là điểm đối xứng của $B$ qua $H$
$\Rightarrow C\left( 7-a\,;\,3-a \right)$.
+ Theo giả thiết, diện tích tam giác $ABC$ là $S=\dfrac{1}{2}.BC.AH=18$ $\left( 1 \right)$ trong đó $\left\{ \begin{aligned} & \overrightarrow{AH}=\left( \dfrac{9}{2}\,;\,-\dfrac{9}{2} \right)\Rightarrow AH=\dfrac{9\sqrt{2}}{2} \\ & \overrightarrow{BC}=\left( 7-2a\,;\,7-2a \right)\Rightarrow BC=\left| 7-2a \right|.\sqrt{2} \\ \end{aligned} \right.$.
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left| 7-2a \right|\sqrt{2}\dfrac{9\sqrt{2}}{2}=18$
$\Leftrightarrow \left| 7-2a \right|=4\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & 7-2a=4 \\ & 7-2a=-4 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & a=\dfrac{3}{2} \\ & a=\dfrac{11}{2} \\ \end{aligned} \right.$.
Vậy $B\left( \dfrac{3}{2}\,;\,-\dfrac{5}{2} \right)$ và $C\left( \dfrac{11}{2}\,;\,\dfrac{3}{2} \right)$ hoặc $B\left( \dfrac{11}{2}\,;\,\dfrac{3}{2} \right)$ và $C\left( \dfrac{3}{2}\,;\,-\dfrac{5}{2} \right)$.