Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình bình hành $ABCD$, đỉnh $A\left(1 ; -2\right)$, $BD:\left\{\begin{aligned}&{x=4+t} \\ &{y=-4-2t} \end{aligned}\right.$, $t\in \mathbb{R}$ và $H\left(\dfrac{133}{37} ; -\dfrac{58}{37} \right)$ là hình chiếu của $A$ trên $CD$.
1. Lập phương trình các đường thẳng $CD , AB$.
2. Xác định tọa độ các đỉnh $D ,C, B$.
3. Xác định vị trí điểm $M\in BD$ sao cho $MA^{2} +MB^{2} +MC^{2} +MD^{2}$ đạt giá trị bé nhất.
Hướng dẫn giải:
1.
Đường thẳng $CD$ qua điểm $H\left(\dfrac{133}{37} ; -\dfrac{58}{37} \right)$ và có VTPT $\overrightarrow{AH}= \left(\dfrac{96}{37} ; \dfrac{16}{37} \right)=\dfrac{16}{37} \left(6 ; 1\right)$.
Nên phương trình đường thẳng $CD$ là $6\left(x-\dfrac{133}{37} \right)+y+\dfrac{58}{37} =0\Leftrightarrow 6x+y-20=0$.
Ta có đường thẳng $AB$ qua điểm $A\left(1 ; -2\right)$ và có VTPT $\overrightarrow{AH}= \left(\dfrac{96}{37} ; \dfrac{16}{37} \right)=\dfrac{16}{37} \left(6 ; 1\right)$.
Nên phương trình đường thẳng $AB$ là $6\left(x-1\right)+y+2=0\Leftrightarrow 6x+y-4=0$.
2.
Vì $D$ là giao điểm của $CD$ và $BD$ nên tọa độ $D$ là nghiệm $x , y$ của hệ phương trình $\left\{\begin{aligned}&{6x+y=20} \\ &{x=4+t} \\ &{y=-4-2t} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}& {24+6t-4-2t=20} \\ &{x=4+t} \\ &{y=-4-2t} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}& {t=0} \\ &{x=4} \\ &{y=-4} \end{aligned}\right. $.
Vậy tọa độ $D\left(4 ; -4\right)$.
Vì $B$ là giao điểm của $AB$ và $BD$ nên tọa độ $B$ là nghiệm $x , y$ của hệ phương trình $\left\{\begin{aligned}& {6x+y=4} \\ &{x=4+t} \\ &{y=-4-2t} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}& {24+6t-4-2t=4} \\ &{x=4+t} \\ &{y=-4-2t} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&{t=-4} \\ &{x=0} \\ &{y=4} \end{aligned}\right. $.
Vậy tọa độ $B\left(0 ; 4\right)$.
Gọi $I$ là trung điểm của $BD$ thì tọa độ $I\left(2 ;0\right)$.
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $I\left(2 ;0\right)$ là trung điểm $AC$.
Do đó tọa độ $C\left(3 ; 2\right)$.
3.
Gọi $I=AC\cap BD$.
Xét biểu thức: $P=MA^{2} +MB^{2} +MC^{2} +MD^{2} =\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)^{2} +\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)^{2} +\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)^{2} +\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{ID}\right)^{2} $
$ =4MI^{2} +(IA^{2} +IB^{2} +IC^{2} +ID^{2}) +2\overrightarrow{MI}\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}\right)$
Do $I$ là trung điểm của $AC$ và $BD$ $\Rightarrow \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}$
Vậy $ P =4MI^{2} +(IA^{2} +IB^{2} +IC^{2} +ID^{2} )$
Mà $I,A,B,C,D$ cố định nên $IA^{2} +IB^{2} +IC^{2} +ID^{2} =$ hằng số.
Từ đó $ P_{\min } \Leftrightarrow 4MI^{2}_{\min } \Leftrightarrow M\equiv I\Rightarrow M(2;0)$
Vậy với $M(2;0)$ thì $MA^{2} +MB^{2} +MC^{2} +MD^{2} $ đạt GTNN.