Bài 6: Chia hết và chia có dư. Tính chất chia hết của một tổng

1. Chia hết và chia có dư

Cho hai số tự nhiên \(a\) và \(b\), trong đó \(b\) khác 0.

Ta luôn tìm được đúng hai số tự nhiên \(q\) và \(r\) sao cho \(a=b.q+r\), trong đó \(0\le r< b\). Ta gọi \(q\) và \(r\) lần lượt là thương và số dư trong phép chia \(a\) cho \(b\).

- Nếu \(r=0\) tức \(a=b.q\), ta nói \(a\) chia hết cho \(b\), kí hiệu \(a⋮b\) và ta có phép chia hết \(a:b=q\).

- Nếu \(r\ne0\), ta nói \(a\) không chia hết cho \(b\), kí hiệu \(a\)\(\not\vdots b\) và ta có phép chia có dư.

2. Tính chất chia hết của một tổng

Tính chất 1

Cho \(a,b,n\) là các số tự nhiên, \(n\) khác 0. Nếu \(a⋮n\) và \(b⋮n\) thì \(\left(a+b\right)⋮n\).

Ví dụ: Không tính tổng, xét xem: \(A=12+24\) có chia hết cho \(4\) hay không. Vì sao?

Giải

a) Các số \(12\), \(24\) đều chia hết cho \(4\) nên \(A\) chia hết cho \(4\).

Nhận xét: 

- Tính chất 1 cũng đúng với một hiệu với \(a\ge b\):

Nếu \(a⋮n,b⋮n\) thì \(\left(a+b+c\right)⋮n\).

- Tính chất 1 có thể mở rộng cho một tổng có nhiều số hạng:

Nếu \(a⋮n,b⋮n,c⋮n\) thì \(\left(a+b+c\right)⋮n\).

Trong một tổng, nếu mọi số hạng đều chia hết cho cùng một số thì tổng cũng chia hết cho số đó.

Tính chất 2: 

Cho \(a,b,n\) là các số tự nhiên, \(n\) khác 0. Nếu \(a\not\vdots n\) và \(b⋮n\) thì \((a+b)\not\vdots n\).

Nhận xét:

- Tính chất 2 cũng đúng với một hiệu \(\left(a>b\right)\):

Nếu \(a\not\vdots n, b\vdots n\) thì \((a-b)\not\vdots n\).

Nếu \(a\vdots n, b\not\vdots n\) thì \((a-b)\not\vdots n\).

- Tính chất 2 có thể mở rộng cho một tổng có nhiều số hạng.

Nếu \(a\not\vdots n, b\vdots n, c\vdots n\) thì \((a+b+c)\not\vdots n\).

Nếu trong một tổng chỉ có đúng một số hạng không chia hết cho một số, các số hạng còn lại đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó.

Ví dụ: Tổng \(12.75+23\) có chia hết cho 12 hay không?

Giải

Vì \(12⋮12\) và \(23\not\vdots 12\) nên tổng đã cho không chia hết cho 12.