Bài 13: Bội chung. Bội chung nhỏ nhất

Hướng dẫn giải:

BC$( 5; 10; 15 ; 20 ) = 60$.

Thời gian (phút) để 4 chiếc chuông lại reo kể từ lần kế tiếp là

BC$( 5; 10; 15 ; 20 ) =$ B$(60) = \{0; 60; 120; ... \}$.

Suy ra cứ $60$ phút = $1$ giờ thì 4 chiếc chuông lại reo một lần.

Nên lần tiếp theo chuông reo là $12 + 1 = 13$ h.

Hướng dẫn giải:

Gọi số cần tìm là $a$.

Ta có $a$ chia cho cho $8$, $9$ và $12$ được số dư lần lượt là $6$, $7$ và $10$.

Suy ra $a+2$ chia hết cho $8$, $9$ và $12$.

Để $a$ nhỏ nhất thì $a + 2 = $ BCNN$(8;9;12) =72$.

Vậy $a = 72-2 = 70$.

Hướng dẫn giải:

Vì $x$ chia cho $7$ dư $4$ nên $x = 7m + 4$ ($m \in \mathbb{N}$),

suy ra $2 . x = 14 . m + 8 = 7 . (2 . m + 1) + 1$, chia cho $7$ dư $1$.

Tương tự, $x$ chia cho $11$ dư $6$ nên $x = 11 . n + 6$ ($6 \in \mathbb{N}$), suy ra $2 . x$ chia cho $11$ dư $1$.

Do đó $(2 . x − 1) \in$ BC$(7; 11)$.

Vì BCNN($7; 11) = 77$ nên $(2 . x − 1) \in \{0; 77; 154; 231; ... \}$.

Để $x$ nhỏ nhất thì $2 . x − 1 = 0 \Rightarrow 2 . x = 1$ (không có số tự nhiên $x$ nào).

Vậy $2 . x − 1 = 77 \Rightarrow 2 . x = 78 \Rightarrow  x = 39$.

Hướng dẫn giải:

$a = 14.a' (a' \in \mathbb{N})$;

$b = 14.b' (b'\in \mathbb{N})$. với $1 < a' < b'$.

Do $14$ là ƯCLN của $a$ và $b$ nên ƯCLN$(a', b') = 1$.

Ta có: $770$ ⋮ $\left(14.a'\right)\Rightarrow \left(770:14\right)$ ⋮ $a'\Rightarrow 55$ ⋮ $a'$.

$770$ ⋮ $\left(14.b'\right)\Rightarrow \left(770:14\right)$ ⋮ $b'\Rightarrow 55$ ⋮ $b'$.

Suy ra $a', b'$ là hai ước nguyên tố cùng nhau của $55$.

Dễ thấy, $a' = 5, b' = 11$ thỏa mãn điều kiện trên với $1 < a' < b'$ và ƯCLN$(a', b') = 1$.

Vậy $a = 14.5 = 70, b = 14.11 = 154$.