Chuyên đề: Giới hạn hàm số

Hướng dẫn giải:

Đặt $f(x) = \dfrac2{3x+1}.$

Với mọi dãy số $(x_n)$ mà $x_n \ne -\dfrac13$ với mọi $n$ và $\lim x_n = +\infty,$ ta có $f(x_n) = \dfrac2{3x_n + 1}.$

Do đó $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \dfrac2{3x+1} = \lim \dfrac2{3x_n + 1} = 0.$

Hướng dẫn giải:

Đặt $f(x) = \dfrac{2x^2+x-3}{x-1}.$

Với mọi dãy số $(x_n)$ mà $x_n \ne 1$ với mọi $n$ và $\lim x_n = 1,$ ta có $f(x_n) = \dfrac{2x_n^2+x_n-3}{x_n-1}.$

Do đó $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{2x^2+x-3}{x-1} = \lim \dfrac{2x_n^2+x_n-3}{x_n-1} = \lim (2x_n + 3) = 5.$

Hướng dẫn giải:

Đặt $f(x) = \cos x.$

Chọn hai dãy số $(x_n)$ và $(y_n)$ với:

• $(x_n) = 2n\pi \Rightarrow x_n \rightarrow +\infty$ khi $n \rightarrow \infty$ và ta được: $f(x_n)=\cos(x_n) = \cos(2n\pi) \xrightarrow[]{n \rightarrow \infty} 1.$
• $(y_n) = \dfrac{\pi}2+n\pi \Rightarrow y_n \rightarrow +\infty$ khi $n \rightarrow \infty$ và ta được: $f(y_n)=\cos(y_n) = \cos\left(\dfrac{\pi}2+n\pi\right) \xrightarrow[]{n \rightarrow \infty} 0.$

Vậy giới hạn $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \cos x$ không tồn tại.

Hướng dẫn giải:

Với mọi dãy số $(x_n)$ mà $x_n > 1$ $\forall n$ và $\lim x_n = 1,$ ta có:

$\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} \dfrac{4x-3}{x-1} = \lim \dfrac{4x_n-3}{x_n-1} = +\infty. $

Vì $\lim (4x_n - 3) > 0$; $\lim (x_n-1) = 0$ và $x_n-1 > 0$ $\forall x_n > 1.$

Hướng dẫn giải:

Ta có $\lim\limits_{x\rightarrow 3^+} \dfrac{|x-3|}{x-3} = \lim\limits_{x\rightarrow 3^+} \dfrac{x-3}{x-3} = 1.$

Mà $\lim\limits_{x\rightarrow 3^-} \dfrac{|x-3|}{x-3} = \lim\limits_{x\rightarrow 3^-} \dfrac{-(x-3)}{x-3} = -1.$

Vì $\lim\limits_{x\rightarrow 3^+}\dfrac{|x-3|}{x-3} \ne \lim\limits_{x\rightarrow 3^-}\dfrac{|x-3|}{x-3}$ nên không tồn tại giới hạn.

Hướng dẫn giải:

Ta có $\lim\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{\sqrt{x^2-4x+4}}{x-2} = \lim\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{|x-2|}{x-2}$.

• $\lim\limits_{x\rightarrow 2^+} \dfrac{|x-2|}{x-2} = \lim\limits_{x\rightarrow 2^+} \dfrac{x-2}{x-2} = 1.$
• $\lim\limits_{x\rightarrow 2^-} \dfrac{|x-2|}{x-2} = \lim\limits_{x\rightarrow 2^-} \dfrac{2-x}{x-2} = -1.$

Vậy không tồn tại giới hạn.

Hướng dẫn giải:

$\lim\limits_{x\rightarrow 2^+} f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow 2^+} (x^2 - 3) = 1.$

$\lim\limits_{x\rightarrow 2^-} f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow 2^-} (x-1) = 1.$

Suy ra $ \lim\limits_{x\rightarrow 2^+} f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow 2^-} f(x) = 1$ nên $\lim\limits_{x \rightarrow 2}f(x)$ tồn tại.

Hướng dẫn giải:

Ta có $\lim\limits_{x\rightarrow 0^-} f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow 0^-}\left(mx+m+\dfrac14\right) = m +\dfrac14;$

$\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}x = \lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{x+4-4}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \lim\limits_{x\rightarrow 0^+} \dfrac1{\sqrt{x+4}+2}=\dfrac14.$

Để hàm số có giới hạn tại $x = 0$ thì $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+} f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow 0^-} f(x) \Leftrightarrow m + \dfrac14 = \dfrac14 \Leftrightarrow m = 0.$