Bài 9: Tích của vectơ với một số

1. TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ

• Tích của một vectơ \(\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0}\) với một số thực \(k>0\) là một vectơ, kí hiệu là \(k\overrightarrow{a}\), cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow{a}\) và có độ dài bằng \(k\left|\overrightarrow{a}\right|\).
• Tích của một vectơ \(\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0}\) với một số thực \(k< 0\) là một vectơ, kí hiệu là \(k\overrightarrow{a}\), cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow{a}\) và có độ dài bằng \(\left(-k\right)\left|\overrightarrow{a}\right|\).

Chú ý. Ta quy ước \(k\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\) nếu \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\) hoặc \(k=0\).

Phép lấy tích của vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với một số (hay phép nhân một số với vectơ).

 2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ

Với hai vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) và hai số thực \(k,t\), ta luôn có:

\(k\left(t\overrightarrow{a}\right)=\left(kt\right)\overrightarrow{a};\)             \(\left(k+t\right)\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{a};\)

\(k\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b};k\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=k\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b}\)

\(1\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a};\left(-1\right)\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}.\)

Nhận xét.

• Điểm \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}.\) 
• Điểm \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}.\)

Chú ý. Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\). Khi đó mọi vectơ \(\overrightarrow{u}\) đều biểu thị (phân tích) được một cách duy nhất theo hai vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\), nghĩa là có duy nhất cặp số \(\left(x;y\right)\) sao cho \(\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}.\)

Ví dụ: Cho tam giác \(ABC\) điểm \(M\) trên cạnh \(BC\) sao cho \(MB=2MC\). Hãy phân tích vectơ \(\overrightarrow{AM}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC.}\)

Giải

 Ta có

\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\)

\(=\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}.\)

\(=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{u}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{v}.\)