Cho tam giác $A B C$. Gọi $M$ là trung điểm của $A B$ và $N$ là một điểm trên cạnh $A C$ sao cho $N A=2 N C$. Gọi $K$ là trung điểm $M N$. Phân tích vectơ $\overrightarrow{A K}$ theo $\overrightarrow{A B}$ và $\overrightarrow{A C}$.
Hướng dẫn giải:
Ta có: $M, K$ lần lượt là trung điểm của $A B, M N$ nên $\overrightarrow{A M}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A B}$ và $2 \overrightarrow{A K}=\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{A N}$.
Mạat khác: $N$ thuộc cạnh $A C$ và $N A=2 N C \Rightarrow \overrightarrow{A N}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{A C}$.
Suy ra $\overrightarrow{A K}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{A N})=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\dfrac{2}{3} \overrightarrow{A C}\right)=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{A B}+\dfrac{1}{3} \overrightarrow{A C}$.
a) Phân tích vectơ $\overrightarrow{A D}$ theo hai véctơ $\overrightarrow{A B}$ và $\overrightarrow{A F}$.
b) Tính độ dài của vecto $\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{B C}$ theo $a$.
Hướng dẫn giải:
a) Phân tích vectơ $\overrightarrow{A D}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{A B}$ và $\overrightarrow{A F}$.
Ta có: $O$ là trung điểm $A D$ nên $\overrightarrow{A D}=2 \overrightarrow{A O}$.
Lại có: $\left\{\begin{array}{l}A B / / F O \\ A F / / B O\end{array} \Rightarrow A B O F\right.$ là hình bình hành $\Rightarrow \overrightarrow{A D}=2 \overrightarrow{A O}=2(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A F})=2 \overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{A F}$.
b) Tính độ dài của vecto $\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{B C}$ theo $a$.
Ta có: $\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{B C}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C})=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A C}$.
$$
\Rightarrow\left|\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{B C}\right|=\left|\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A C}\right|=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{A C}|=\dfrac{1}{2} A C \text {. }
$$
Theo đề bài: $A B C D E F$ là lục giác đều nên $\triangle A B O ; \triangle C B O$ là tam giác đều cạnh $a$.
Gọi $M$ là trung điểm $B O \Rightarrow A M ; M C$ lần lượt là đường cao $\triangle A B O ; \triangle C B O$ và $A C=A M+M C$ $\Rightarrow A C=A M+M C=\dfrac{a \sqrt{3}}{2}+\dfrac{a \sqrt{3}}{2}=a \sqrt{3} \Rightarrow\left|\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{B C}\right|=\dfrac{1}{2} A C=\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$.
Cho trước hai điểm $A, B$ và hai số thực $\alpha, \beta$ thoả mãn $\alpha+\beta \neq 0$. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn $\alpha \overrightarrow{I A}+\beta \overrightarrow{I B}=\overrightarrow{0}$. Từ đó, suy ra với điểm bất kì $M$ thì $\alpha \overrightarrow{M A}+\beta \overrightarrow{M B}=(\alpha+\beta) \overrightarrow{M I}$.
Hướng dẫn giải:
Ta có: $\alpha \overrightarrow{I A}+\beta \overrightarrow{I B}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \alpha \overrightarrow{I A}+\beta(\overrightarrow{I A}+\overrightarrow{A B})=\overrightarrow{0}$
$$ \Leftrightarrow(\alpha+\beta) \overrightarrow{I A}+\beta \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{0} . \Leftrightarrow(\alpha+\beta) \overrightarrow{A I}=\beta \overrightarrow{A B} \Leftrightarrow \overrightarrow{A I}=\dfrac{\beta}{\alpha+\beta} \overrightarrow{A B} $$
Vì A, B cố định nên vectơ $\dfrac{\beta}{\alpha+\beta} \overrightarrow{A B}$ không đổi, do đó tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn điều kiện.
Từ đó suy ra
$$ \begin{aligned} &\alpha \overrightarrow{M A}+\beta \overrightarrow{M B}=\alpha(\overrightarrow{M I}+\overrightarrow{I A})+\beta(\overrightarrow{M I}+\overrightarrow{I B}) \\ &=(\alpha+\beta) \overrightarrow{M I}+(\alpha \overrightarrow{I A}+\beta \overrightarrow{I B})=(\alpha+\beta) \overrightarrow{M I}. \end{aligned} $$
Cho tam giác $A B C$ có trọng tâm $G$. Cho các điểm $D, E, F$ lần lượt là trung điểm của $B C, C A$ $A B$ và $I$ là giao điểm của $A D$ và $E F$. Đạ̄t $\vec{u}=\overrightarrow{A E}, \vec{v}=\overrightarrow{A F}$. Hāy phân tích các vectơ $\overrightarrow{A I}, \overrightarrow{A G}, \overrightarrow{D E}$, $\overrightarrow{D C}$ theo hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$.
Hướng dẫn giải:
Ta có: $E, F$ lần lượt là trung điểm của $C A, A B \Rightarrow E F$ là đường trung bình của $\triangle A B C \Rightarrow E F / / B C$ $\Rightarrow \dfrac{I E}{C D}=\dfrac{A I}{A D}=\dfrac{I F}{B D} \Rightarrow I F=I E \Rightarrow 2 \overrightarrow{A I}=\overrightarrow{A F}+\overrightarrow{A E} \Rightarrow \overrightarrow{A I}=\dfrac{1}{2}(\vec{u}+\vec{v})$. $G$ là trọng tâm tam giác $A B C ; D, E, F$ lần lượt là trung điểm của $B C, C A A B$ $\Rightarrow \overrightarrow{A G}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{A D}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})=\dfrac{1}{3}(2 \overrightarrow{A F}+2 \overrightarrow{A E})=\dfrac{2}{3}(\vec{u}+\vec{v}) .$ $D E$ là đường trung bình của $\triangle A B C \Rightarrow D E=\dfrac{1}{2} A B=A F \Rightarrow \overrightarrow{D E}=-\overrightarrow{A F}=-\vec{v}$. $E F$ là đường trung bình của $\triangle A B C \Rightarrow E F=C D \Rightarrow \overrightarrow{D C}=\overrightarrow{F E}=\overrightarrow{A E}-\overrightarrow{A F}=\vec{u}-\vec{v}$.
Cho tam giác $A B C$. Gọi $M$ là trung điểm của $A B$ và $N$ là một điểm trên cạnh $A C$ sao cho $N A=2 N C$. Gọi $K$ là trung điểm $M N$. Phân tích vectơ $\overrightarrow{A K}$ theo $\overrightarrow{A B}$ và $\overrightarrow{A C}$.
Hướng dẫn giải:
Ta có: $M, K$ lần lượt là trung điểm của $A B, M N$ nên $\overrightarrow{A M}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A B}$ và $2 \overrightarrow{A K}=\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{A N}$.
Mạat khác: $N$ thuộc cạnh $A C$ và $N A=2 N C \Rightarrow \overrightarrow{A N}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{A C}$.
Suy ra $\overrightarrow{A K}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{A N})=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\dfrac{2}{3} \overrightarrow{A C}\right)=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{A B}+\dfrac{1}{3} \overrightarrow{A C}$.
Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $A B C$. Hāy biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{A B} ; \overrightarrow{B C} ; \overrightarrow{G C} ; \overrightarrow{C A}$ theo $\vec{a}=\overrightarrow{G A}, \vec{b}=\overrightarrow{G B}$.
Hướng dẫn giải:
- Ta có: $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{G B}-\overrightarrow{G A}=\vec{b}-\vec{a}$.
- Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $A B C$ nên $\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}=\overrightarrow{0} \Rightarrow \overrightarrow{G C}=-\overrightarrow{G A}-\overrightarrow{G B}=-\vec{a}-\vec{b}$.
- Ta có: $\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{B G}+\overrightarrow{G C}=-\vec{b}+(-\vec{a}-\vec{b})=-\vec{a}-2 \vec{b}$.
- Ta có: $\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{G A}-\overrightarrow{G C}=\vec{a}-(-\vec{a}-\vec{b})=2 \vec{a}+\vec{b}$.
a) Hāy phân tích véctơ $\overrightarrow{A G}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$.
b) Gọi $E, F$ là hai điểm xác định bởi các điều kiện: $\overrightarrow{E A}=2 \overrightarrow{E B}, 3 \overrightarrow{F A}+2 \overrightarrow{F C}=\overrightarrow{0}$. Hāy phân tích $\overrightarrow{E F}$ theo hai vecto $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$.
Hướng dẫn giải:
a) Hāy phân tích véctơ $\overrightarrow{A G}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$.
$A G \cap B C=M \Rightarrow M$ là trung điểm $B C \Rightarrow \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{A M}$.
Mà $G$ là trọng tâm $\triangle A B C \Rightarrow \overrightarrow{A G}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{A M} \Leftrightarrow \overrightarrow{A M}=\dfrac{3}{2} \overrightarrow{A G}$.
$\Rightarrow \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{A M}=2 \cdot \dfrac{3}{2} \overrightarrow{A G}=3 \overrightarrow{A G} \Rightarrow \overrightarrow{A G}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{A B}+\dfrac{1}{3} \overrightarrow{A C}$
b) Gọi $E, F$ là hai điểm xác định bởi các điều kiện: $\overrightarrow{E A}=2 \overrightarrow{E B}, 3 \overrightarrow{F A}+2 \overrightarrow{F C}=\overrightarrow{0}$. Hāy phân tích $\overrightarrow{E F}$ theo hai vecto $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$.
Ta có: $\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{E A}+\overrightarrow{A F}$.
Theo gt: $\overrightarrow{E A}=2 \overrightarrow{E B} \Rightarrow \overrightarrow{E A}=2 \overrightarrow{A B}$
Từ $3 \overrightarrow{F A}+2 \overrightarrow{F C}=\overrightarrow{0} \Rightarrow \overrightarrow{A F}=\dfrac{2}{5} \overrightarrow{A C}$.
$\Rightarrow \overrightarrow{E F}=\overrightarrow{E A}+\overrightarrow{A F}=2 \overrightarrow{A B}+\dfrac{2}{5} \overrightarrow{A C}$
Điểm $M$ gọi là chia đoạn thā̉ng $A B$ theo ti số $k \neq 1$ nếu $M A=k M B$. Chứng minh rā̀ng với mọi điểm $O$ ta có $\overrightarrow{O M}=\dfrac{\overrightarrow{O A}-k \overrightarrow{O B}}{1-k}$.
Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết $\overrightarrow{M A}=k \overrightarrow{M B}$, với $k \neq 1$, ta có:
$\begin{aligned}
&\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O M}=k(\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O M}) \Leftrightarrow(1-k) \overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B} . \\
&\Leftrightarrow \overrightarrow{O M}=\frac{\overrightarrow{O A}-k \overrightarrow{O B}}{1-k} .\end{aligned}$
Cho tứ giác $A B C D$. Xác định điểm $M, N, P$ sao cho a) $2 \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=\overrightarrow{0}$.
b) $\overrightarrow{N A}+\overrightarrow{N B}+\overrightarrow{N C}+\overrightarrow{N D}=\overrightarrow{0}$.
c) $3 \overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}+\overrightarrow{P D}=\overrightarrow{0}$.
Hướng dẫn giải:
a) Gọi I là trung điểm $\mathrm{BC}$ suy ra $\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=2 \overrightarrow{M I}$
Do đó $2 \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=\overrightarrow{0}$
$2 \overrightarrow{M A}+2 \overrightarrow{M I}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M I}=\overrightarrow{0}$
Suy ra $M$ là trung điểm $\mathrm{AI}$
b) Gọi $K, H$ lần lượt là trung điểm của $\mathrm{AB}, \mathrm{CD}$ ta có
$\overrightarrow{N A}+\overrightarrow{N B}+\overrightarrow{N C}+\overrightarrow{N D}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow 2 \overrightarrow{N K}+2 \overrightarrow{N H}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{N K}+\overrightarrow{N H}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow N$ là trung điểm của $\mathrm{KH}$
c) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $B C D$ khi đó ta có $\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}+\overrightarrow{P D}=3 \overrightarrow{P G}$
Suy ra $3 \overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}+\overrightarrow{P D}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow 3 \overrightarrow{P A}+3 \overrightarrow{P G}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P G}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow P$ là trung điểm $A G$.
Bạn hãy đăng nhập để trả lời câu hỏi này!
Phụ huynh có nhu cầu đăng ký học kèm trực tuyến với giáo viên OLM xem tại đây, hoặc liên hệ: 0966 971 996 (cô Quyên)
Toán lớp 10 (Kết nối tri thức với cuộc sống)
Bài 9: Tích của vectơ với một sốBài tập tự luận: Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, tìm điểm thỏa mãn hệ thức vectơ
