Bài tập tự luận: Chứng minh đẳng thức vectơ. Chứng minh ba điểm thẳng hàng
HỌC TRỰC TUYẾN OLM.VN
Cho cho tứ giác lồi $A B C D$. Gọi $E, F$ lần lượt là trung điểm của $A B, C D$ và $G$ là trung điểm $E F$. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B C}=2 \overrightarrow{E F}$.
b) $\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G D}=\overrightarrow{0}$
Cho tứ giác $A B C D$. Gọi hai điểm $M$ và $N$ theo thứ tự là trung điêm của các đoạn $A D, B C$.
a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{M N}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D C})=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{D B})$.
b) Gọi $I$ là trung điểm của $M N$. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{I A}+\overrightarrow{I B}+\overrightarrow{I C}+\overrightarrow{I D}=\overrightarrow{0}$.
Cho tam giác $A B C$ có trung tuyên $A M$. Gọi $I$ là trung điếm của $A M$ và $K$ là điếm trên cạnh $A C$ sao cho $A K=\dfrac{1}{3} A C$. Chứng minh rằng ba điểm $B, I, K$ thẳng hàng. Ta có $\overrightarrow{B I}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B M})=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{B A}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{B C}\right)$
Cho tam giác $A B C$. Hai điểm $M, N$ được xác định bởi hệ thức $\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{M A}=\overrightarrow{0}$, $\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{N A}-3 \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{0}$. Chứng minh rằng $M N / / A C$.
Cho $\triangle A B C$ với $I, J, K$ lần lượt được xác định bời $\overrightarrow{I B}=2 \overrightarrow{I C} ; \overrightarrow{J C}=-\dfrac{1}{2} \overrightarrow{J A} ; \overrightarrow{K A}=-\overrightarrow{K B}$.
a) Tính $\overrightarrow{I J} ; \overrightarrow{I K}$ theo $\overrightarrow{A B} ; \overrightarrow{A C}$.
b) Chứng minh ba điểm $I, J, K$ thẳng hàng.
Cho hình bình hành $A B C D$. Trên các tia $A D, A B$ lân lượt lây các điêm $F, E$ sao cho $A D=\dfrac{1}{2} A F, A B=\dfrac{1}{2} A E$. Chứng minh: a) Ba điểm $F, C, E$ thẳng hàng. b) Các tứ giác $B D C E, B D F C$ là hình bình hành.
Cho tam giác $A B C$. Hai điểm $I, J$ được xác định bởi $\overrightarrow{I A}+3 \overrightarrow{I C}=\overrightarrow{0} ; \overrightarrow{J A}+2 \overrightarrow{J B}+3 \overrightarrow{J C}=\overrightarrow{0}$. Chứng minh ba điểm $I, J, B$ thẳng hàng.
Trên các cạnh $A B, B C, C A$ của $\triangle A B C$ lấy các điểm $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ sao cho $\dfrac{A A^{\prime}}{A B}=\dfrac{B B^{\prime}}{B C}=\dfrac{C C^{\prime}}{A C}$. Chứng minh các tam giác $\triangle A B C$ và $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có chung trọng tâm.
Cho tam giác $A B C$ và một điểm $M$ tùy ý. Gọi $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ lân lượt là các điêm đôi xứng của $M$ qua các trung điểm $K, I, J$ của các cạnh $B C, C A, A B$.
a) Chứng minh ba đường thẳng $A A^{\prime}, B B^{\prime}, C C^{\prime}$ đồng quy tại một điểm $N$.
b) Chứng minh rằng khi $M$ di động thì đường thẳng $M N$ luôn đi qua trọng tâm $G$ của $\triangle A B C$.
Cho hai tam giác $A B C$ và $A_{1} B_{1} C_{1}$ có cùng trọng tâm $\mathrm{G}$. Gọi $G_{1}, G_{2}, G_{3}$ lần lượt là trọng tâm tam giác $B C A_{1}, A B C_{1}, A C B_{1}$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{G G_{1}}+\overrightarrow{G G_{2}}+\overrightarrow{G G_{3}}=\overrightarrow{0}$
Cho tam giác $A B C$ có trực tâm $\mathrm{H}$, trọng tâm $\mathrm{G}$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $\mathrm{O}$. Chứng minh rằng
a) $\overrightarrow{H A}+\overrightarrow{H B}+\overrightarrow{H C}=2 \overrightarrow{H O}$.
b) $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O H}$.
c) $\overrightarrow{G H}+2 \overrightarrow{G O}=\overrightarrow{0}$.
Cho tam giác $A B C$ với các cạnh $A B=c, B C=a, C A=b$. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $\mathrm{ABC}$. Chứng minh rằng $a \overrightarrow{I A}+b \overrightarrow{I B}+c \overrightarrow{I C}=\overrightarrow{0}$.