Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị

Ta sẽ nghiên cứu hàm số lượng giác theo các chủ đề:

- Tập xác định của hàm số.

- Tính chẵn, lẻ của hàm số.

- Tính tuần hoàn của hàm số.

- Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.

- Cách vẽ đồ thị hàm số.

I. Hàm số $f(x)=\sin x$:

(Với mỗi giá trị $x$ đặt tương ứng với một giá trị $f(x)=\sin x$.)

1. Tập xác định của hàm số: $\mathbb D= \mathbb R$.

Space

2. Tính chẵn lẻ của hàm số $f(x)=\sin x$

Space

3. Hàm số tuần hoàn với chu kì $2\pi$.

$\forall x \in \mathbb R;$ $\sin x=\sin (x+2\pi)$

Space

4. Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

a) Đồng biến:

Khi $x$ tăng từ $-90^{\circ}$ đến $90^{\circ}$,

$\sin x$ tăng từ $1$ đến $-1$.

Vậy, hàm số $\sin x$ đồng biến trên khoảng $[-90^{\circ};90^{\circ}]$ hay $[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}]$.

b) Nghịch biến:

Khi $x$ tăng từ $90^{\circ}$ đến $270^{\circ}$,

$\sin x$ giảm từ $1$ xuống $-1$.

Vậy hàm số $f(x)=\sin x$ nghịch biến trên khoảng $[90^{\circ};270^{\circ}]$ hay $[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}]$.

Space

*) Kết hợp với tính tuần hoàn của hàm số, ta có kết luận, hàm số $y=\sin x$ đồng biến trên các đoạn $[-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi;\dfrac{\pi}{2}+k2\pi]$ và nghịch biến trên các đoạn $[\dfrac{\pi}{2}+k2\pi;\dfrac{3\pi}{2}+k2\pi]$. (Với $k \in \mathbb Z$)

Space

5. Vẽ đồ thị hàm số $f(x)=\sin x$.

Do hàm số $f(x)=\sin x$ có tính tuần hoàn, nên ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm $\sin x$ trên một khoảng có độ dài $2\pi$, sau đó dịch chuyển sang bên trái và bên phải một đoạn bằng $2\pi$.

Nhận xét: đồ thị hàm số $y=\sin x$ nhận $O(0;0)$ làm tâm đối xứng.