Bài 1. Dãy số

I. Xét tính tăng, giảm của dãy số

Cách 1: Xét hiệu $u_{n+1}-u_n$

• Nếu $u_{n+1}-u_n>0 \forall n \in \mathbb{N}^*$ thì $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng.
• Nếu $u_{n+1}-u_n<0 \forall n \in \mathbb{N}^*$ thì $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm.

Ví dụ: Xét tính tăng, giảm của dãy số \(u_n=2n^3-5n+1\).

Giải:

Với mỗi $n \in \mathbb{N}^*$, ta có: $u_{n+1}-u_n=\left[2(n+1)^3-5(n+1)+1\right]-\left(2 n^3-5 n+1\right)$ $=2 n^3+6 n^2+6 n+2-5 n-5-1-2 n^3+5 n-1$ $=6 n^2+6 n-3=6 n^2+3 n+(3 n-3)>0$ ( đúng ) do $n \geq 1$.
Vì thế dãy số $\left(u_n\right)$ là một dãy số tăng.

Cách 2: Khi $u_n>0 \forall n \in \mathbb{N}^*$ ta xét tỉ số $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$

• Nếu $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}>1$ thì $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng.
• Nếu $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}<1$ thì $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm.

Ví dụ: Xét tính tăng, giảm của dãy số $(u_n)$ với $u_n=\dfrac{\sqrt{n}}{2^n}$. 

Giải:

Dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=\dfrac{\sqrt{n}}{2^n}$.

Dễ thấy $u_n>0 \quad \forall n \in N^*$. Xét tỉ số: $\dfrac{u_n}{u_{n+1}}$.

Ta có: $\dfrac{u_n}{u_{n+1}}=\dfrac{\sqrt{n}}{2^n} \cdot \dfrac{2^{n+1}}{\sqrt{n+1}}=\dfrac{2 \sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}>1 \quad(\forall n \geq 1)$.

Thật vậy: $\dfrac{2 \sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}>1 \Leftrightarrow \dfrac{4 n}{n+1}>1 \Leftrightarrow 4 n>n+1 \Leftrightarrow 3 n>1 \quad($ đúng $\forall n \geq 1$ ).

Kết luận: $\left(u_n\right)$ là một dãy số giảm.

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số

Dãy số $\left(u_n\right)$ có $u_n=a n+b$ tăng khi $a>0$ và giảm khi $a<0$

Dãy số $\left(u_n\right)$ có $u_n=q^n$

• Không tăng, không giảm khi $q<0$
• Giảm khi $0<q<1$
• Tăng khi $q>1$

Dãy số $\left(u_n\right)$ có $u_n=\dfrac{a n+b}{c n+d}$ với điều kiện $cn+d>0 \forall n \in \mathbb{N}^*$

• Tăng khi $a d-b c>0$
• Giảm khi $a d-b c<0$

Dãy số đan dấu là dãy số không tăng, không giảm

Ví dụ: Dãy $(u_n)$ với $u_n = (-1)^n$ là dãy không tăng không giảm vì dạng khai triển là: $-1;1;-1;1;...$
Nếu dãy số $\left(u_n\right)$ tăng hoặc giảm thì dãy số $\left(q^n \cdot u_n\right)$ (với $q<0$ ) không tăng, không giảm

II. Xét tính bị chặn của dãy số

Cách 1: Dãy số $\left(u_n\right)$ có $u_n=f(n)$ là hàm số đơn giản.
Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức $u_n=f(n) \leq M, \forall n \in \mathbb{N}^*$ hoặc $u_n=f(n) \geq m, \forall n \in \mathbb{N}^*$

Cách 2: Dãy số $\left(u_n\right.$ ) có $u_n=v_1+v_2+\ldots+v_k+\ldots+v_n$ (tổng hữu hạn)
Ta làm trội $v_k \leq a_k-a_{k+1}$
Lúc đó $u_n \leq\left(a_1-a_2\right)+\left(a_2-a_3\right)+\ldots\left(a_n-a_{n+1}\right)$
Suy ra $u_n \leq a_1-a_{n+1} \leq M, \forall n \in \mathbb{N}^*$

Cách 3: Dãy số $\left(u_n\right)$ có $u_n=v_1 \cdot v_2 v_3 \ldots v_n$ với $v_n>0, \forall n \in \mathbb{N}^*$ (tích hữu hạn)
Ta làm trội $v_k \leq \dfrac{a_{k+1}}{a_k}$
Lúc đó $u_n \leq \dfrac{a_2}{a_1} \cdot \dfrac{a_3}{a_2} \ldots \dfrac{a_{n+1}}{a_n}$
Suy ra $u_n \leq \dfrac{a_{n+1}}{a_1} \leq M, \forall n \in \mathbb{N}^*$

Ví dụ: Xét tính bị chặn của dãy $(u_n)$ với $u_n= n+ \dfrac1n$.

Giải: 

$u_n=n+\dfrac{1}{n}$ có $u_n=n+\dfrac{1}{n} \geq 2 \sqrt{n \cdot \dfrac{1}{n}}=2, \forall n>0$. Vậy dãy số bị chặn bởi 2 .

Chú ý: Nếu dãy số $\left(u_n\right)$ giām thì bị chặn trên, dãy số $\left(u_n\right)$ tăng thì bị chặn dưới

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn

• Dãy số $\left(u_n\right)$ có $u_n=q^n \quad(|q| \leq 1)$ bị chặn
• Dãy số $\left(u_n\right)$ có $u_n=q^n \quad(q<-1)$ không bị chặn
• Dãy số $\left(u_n\right)$ có $u_n=q^n$ với $q>1$ bị chặn dưới
• Dãy số $\left(u_n\right)$ có $u_n=a n+b$ bị chặn dưới nếu $a>0$ và bị chặn trên nếu $a<0$
• Dãy số $\left(u_n\right)$ có $u_n=a n^2+b n+c$ bị chặn đưới nếu $a>0$ và bị chặn trên nếu $a<0$
• Dãy số $\left(u_n\right)$ có $u_n=a_m n^m+a_{m-1} n^{m-1}+\ldots+a_1 n+a_0$ bị chặn đưới nếu $a_m>0$ và bị chặn trên nếu $a_m<0$
• Dãy số $\left(u_n\right)$ có $u_n=q^n\left(a_m n^m+a_{m-1} n^{m-1}+\ldots+a_1 n+a_0\right)$ với $a_m \neq 0$ và $q<-1$ không bị chặn
• Dãy số $\left(u_n\right)$ có $u_n=\sqrt{a_m n^m+a_{m-1} n^{m-1}+\ldots+a_1 n+a_0}$ bị chặn dưới với $a_m>0$
• Dãy số $\left(u_n\right)$ có $u_n=\sqrt[3]{a_m n^m+a_{m-1} n^{m-1}+\ldots+a_1 n+a_0}$ bị chặn đưới nếu $a_m>0$ và bị chặn trền nếu $a_m<0$
• Dãy số $\left(u_n\right)$ có $u_n=\dfrac{P(n)}{Q(n)}$ trong đó $P(n)$ và $Q(n)$ là các đa thức, bị chặn néúu bậc của $P(n)$ nhỏ hơn hoặc bằng bậc của $Q(n)$
• Dãy số $\left(u_n\right)$ có $u_n=\dfrac{P(n)}{Q(n)}$ trong đó $P(n)$ và $Q(n)$ là các đa thức, bị chặn dưới hoặc bị chặn trên nếu bậc của $P(n)$ lớn hơn bậc của $Q(n)