Mỗi hàm số $u$ xác định trên tập các số nguyên dương $\mathbb{N}^*$ được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: $u(n)$.
Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển $u_1, u_2, u_3, \ldots, u_n, \ldots$, trong đó $u_n=u(n)$ hoặc viết tắt là $\left(u_n\right)$, và gọi $u_1$ là số hạng đầu, $u_n$ là số hạng thứ $n$ và là số hạng tổng quát của dãy số.
Mỗi hàm số $u$ xác định trên tập $M=\{1,2,3, \ldots, m\}$ với $m \in \mathbb{N}^*$ được gọi là một dãy số hữu hạn.
Dạng khai triển của nó là $u_1, u_2, u_3, \ldots, u_n$, trong đó $u_1$ là số hạng đầu, $u_m$ là số hạng cuối.
Ví dụ 1. Cho dãy số $\left(x_n\right)$ với $x_n=2^{n+1}$.
Dãy số cho bằng cách này có ưu điểm là chúng ta có thể xác định đuợc ngay số hạng bất kỳ của dãy số. Chẳng hạn, $x_{10}=2^{10+1} = 2^{11} = 2048$.
Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi:
a) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu).
b) Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ $n$ qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.
Ví dụ 2. Dãy số xác định bởi hệ thức truy hồi: $u_1=1,\ u_n=4u_{n-1} +2$ với $n \ge 2$.
Ba số hạng đầu của dãy là: $u_1 = 1,\ u_2 = 4u_1 + 2 = 4 + 2 = 6,\ u_3 = 4u_2 + 2 = 4.6 + 2 = 26$.
Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có $u_{n+1}>u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là dãy số giảm nếu ta có $u_{n+1}<u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=(-2)^n$ tức là dãy $-2,4,-8,16, \ldots$ không tăng cũng không giảm.
Ví dụ 3.
a) Cho dãy số $\left(x_n\right)$ với $x_n=n^2-2 n+3$ là một dãy số tăng.
Chứng minh: Ta có $x_{n+1}=(n+1)^2-2(n+1)+3=n^2+2$.
Suy ra $x_{n+1}-x_n=\left(n^2+2\right)-\left(n^2-2 n+3\right)=2 n-1>0, \forall n \geq 1$ hay $x_{n+1}>x_n, \forall n \geq 1$.
Vậy $\left(x_n\right)$ là một dãy số tăng.
b) Dãy số $\left(y_n\right)$ với $y_n=\dfrac{n+2}{5^n}$ là một dãy số giảm.
Chứng minh:
Cách 1: Ta có $y_{n+1}=\dfrac{n+3}{5^{n+1}}$. Suy ra $y_{n+1}-y_n=\dfrac{n+3}{5^{n+1}}-\dfrac{n+2}{5^n}=-\dfrac{4 n+7}{5^{n+1}}<0, \forall n \geq 1$ hay $y_{n+1}<y_n, \forall n \geq 1$. Vậy $\left(y_n\right)$ là một dãy số giảm.
Cách 2: Với $\forall n \in \mathbb{N}^*$, ta có $y_n>0$ nên ta xét tỉ số $\dfrac{y_{n+1}}{y_n}$.
Ta có $y_{n+1}=\dfrac{n+3}{5^{n+1}}$ nên $\dfrac{y_{n+1}}{y_n}=\dfrac{n+3}{5(n+2)}<1, \forall n \geq 1$. Vậy $\left(y_n\right)$ là một dãy số giảm.
c) Dãy số $\left(z_n\right)$ với $z_n=(-1)^n$ không phải là một dãy số tăng cũng không phải là một dãy số giảm vì $z_{n+1}-z_n=(-1)^{n+1}-(-1)^n=-2(-1)^n$ không xác định được dương hay âm. Đây là dãy số đan dấu.
Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số $M$ sao cho $u_n \leq M, \forall n \in \mathbb{N} \text {. }$
Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số $m$ sao cho $u_n \geq m, \forall n \in \mathbb{N}^* \text {. }$
Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số $m, M$ sao cho $m \leq u_n \leq M, \forall n \in \mathbb{N}^* \text {. }$
Lưu ý:
+ Dãy tăng sẽ bị chặn dưới bởi $u_1$.
+ Dãy giảm sẽ bị chặn trên bởi $u_1$.
Ví dụ:
a) Dãy các số tự nhiên lẻ $(u_n)$ với $u_n = 2n-1$ là dãy tăng, bị chặn dưới bởi $u_1=1$.
b) Dãy $(u_n)$ với $u_n = \dfrac {1}{2^n}$ là dãy giảm, bị chặn trên bởi $u_1 = \dfrac12$.
Toán lớp 11 (Chân trời sáng tạo)