Bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản

1. Phương trình $\sin x = m$:

Tổng quát, xét phương trình $\sin x =m (*)$.

- Nếu $|m|>1$ thì phương trình $(*)$ vô nghiệm vì $|\sin x| \leq 1$ với mọi $x \in \mathbb R$.

- Nếu $|m| \leq 1$ thì tồn tại duy nhất $\alpha \in \Big[ -\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2} \Big]$ thoả mãn $\sin \alpha =m$. Khi đó, trên đoạn có độ dài $2\pi$ là $\Big[ -\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2} \Big]$, phương trình $(*)$ có các nghiệm $\alpha$ và $\pi-\alpha$ (do tính chất "sin bù"). (Hình minh hoạ.)

Do tính tuần hoàn với chu kì $2\pi$ của hàm $\sin$, ta chỉ cần cộng vào các nghiệm này bội nguyên của $2\pi$ thì sẽ được tất cả các nghiệm của phương trình $(*)$.

Vậy, ta có kết luận:

Ví dụ: Các bước giải phương trình lượng giác:

Chú ý: 

a) Nếu số đo của góc $\alpha$ được cho dưới đơn vị độ thì

$\sin x=\sin \alpha^{\circ}\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x=\alpha ^{\circ} +k360^{\circ} \\& x=180^{\circ}-\alpha^{\circ} +k360^{\circ}  \end{aligned}\right. (k\in \mathbb Z)$.

b) Một số trường hợp đặc biệt:

+) $\sin x=0 \Leftrightarrow x=k\pi\, ,(k\in \mathbb Z)$;

+) $\sin x=1 \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi,\,(k \in \mathbb Z)$;

+) $\sin x=-1 \Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi,\,(k \in \mathbb Z)$.

2. Các bài tập điển hình (phục vụ cho việc làm bài tập)

Ví dụ mẫu: Giải phương trình:

a) $\sin x=\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sin x=\sin \dfrac{\pi}{6}$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&  x= \dfrac{\pi}{6} +k2\pi \\& x= \dfrac{5\pi}{6} +k2\pi \end{aligned}\right.$ với $(k \in \mathbb Z)$.

b) $\sin x=\dfrac{1}{3}$

Gọi $\alpha \in \Big[ -\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \Big]$ là góc thoả mãn $\sin \alpha =\dfrac{1}{3}$.

(Sử dụng máy tính bỏ túi, ta tính được $\alpha \approx 0,34$ rad.)

Khi đó ta có:

$\sin x=\dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \sin x=\sin \alpha \Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x=\alpha +k2\pi  \\& x=\pi-\alpha+k2\pi \end{aligned}\right.$ với $(k\in \mathbb Z)$.

c) $\sin 2x=\sin (60^{\circ}-3x)$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& 2 x=60^{\circ}-3 x+k 360^{\circ}  \\& 2 x=180^{\circ}-\left(60^{\circ}-3 x\right)+k 360^{\circ}\end{aligned}\right.$ với $(k\in \mathbb Z)$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& 5 x = 6 0 ^ { \circ } + k 3 6 0 ^ { \circ }   \\& - x = 1 2 0 ^ { \circ } + k 3 6 0 ^ { \circ }  \end{aligned}\right.$ với $(k\in \mathbb Z)$

$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x=12^{\circ}+k 72^{\circ}  \\& x=-120^{\circ}-k 360^{\circ} \end{aligned}\right.$ với $(k\in \mathbb Z)$