Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Hướng dẫn giải:

+) Sử dụng định lí: Với số $a$, $b$ không âm và $b\ne 0$, ta có:

         $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

+) Cách đổi hỗn số ra phân số: 

         $a\dfrac{b}{c}=\dfrac{a.c+b}{c}$  với $c\ne0$.

a) $\sqrt{\dfrac{289}{225}}=\dfrac{\sqrt{289}}{\sqrt{225}}=\dfrac{17}{15}$.

b) $\sqrt{2\dfrac{14}{25}}=\sqrt{\dfrac{2.25+14}{25}}=\sqrt{\dfrac{64}{25}}=\dfrac{\sqrt{64}}{\sqrt{25}}=\dfrac{8}{5}$.

c) $\sqrt{\dfrac{0,25}{9}}=\dfrac{\sqrt{0,25}}{\sqrt{9}}=\dfrac{0,5}{3}=\dfrac{5}{30}=\dfrac{1}{6}$.

d) $\sqrt{\dfrac{8,1}{1,6}}=\sqrt{\dfrac{81}{16}}=\dfrac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}}=\dfrac{9}{4}$.

Hướng dẫn giải:

a) $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}=\sqrt{\dfrac{2}{18}}=\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}=\dfrac{1}{3}$.

b) $\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{735}}=\sqrt{\dfrac{15}{735}}=\sqrt{\dfrac{1}{49}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{49}}=\dfrac{1}{7}$.

c) $\dfrac{\sqrt{12500}}{\sqrt{500}}=\sqrt{\dfrac{12500}{500}}=\sqrt{25}=5$.

d) $\dfrac{\sqrt{6^5}}{\sqrt{2^3.3^5}}=\sqrt{\dfrac{6^5}{2^3.3^5}}=\sqrt{\dfrac{2^5.3^5}{2^3.3^5}}=\sqrt{2^2}=2$.

Hướng dẫn giải:

a) $\dfrac{y}{x}.\sqrt{\dfrac{x^2}{y^4}}=\dfrac{y}{x}.\dfrac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{y^4}}=\dfrac{y}{x}.\dfrac{|x|}{|y^2|}=\dfrac{y}{x}.\dfrac{x}{y^2}=\dfrac{1}{y}$.

(Do $x>0$ nên $|x|=x$, $y \ne 0$ $\Rightarrow$ $y^2>0$ nên $|y^2|=y^2$)

b) $2y^2.\sqrt{\dfrac{x^4}{4y^2}}=2y^2.\dfrac{\sqrt{x^4}}{\sqrt{4y^2}}=2y^2.\dfrac{|x^2|}{|2y|}=2y^2.\dfrac{x^2}{-2y}=\dfrac{2y^2.x^2}{-2y}=-x^2y$.

(Do $y<0$ nên $|2y|=-2y$ và $x^2\ge 0$ nên $|x^2|=x^2$)

c) $5xy.\sqrt{\dfrac{25x^2}{y^6}}=5xy.\dfrac{\sqrt{25x^2}}{\sqrt{y^6}}=5xy.\dfrac{|5x|}{|y^3|}=5xy.\dfrac{-5x}{y^3}=\dfrac{5xy.(-5x)}{y^3}=\dfrac{-25x^2}{y^2}$.

(Do $x<0$ nên $|5x|=-5x$ và $y>0$ $\Rightarrow$ $y^3>0$ nên $|y^3|=y^3$)

d) $0,2x^3y^3.\sqrt{\dfrac{16}{x^4y^8}}=0,2x^3y^3.\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{x^4y^8}}=\dfrac{2}{10}.x^3y^3.\dfrac{4}{|x^2y^4|}=\dfrac{1}{5}.x^3y^3.\dfrac{4}{x^2y^4}=\dfrac{4x^3y^3}{5x^2y^4}=\dfrac{4x}{5y}$.

( Do $x \ne 0$ $\Rightarrow$ $x^2>0$ và $y \ne 0$ $\Rightarrow$ $y^4>0$ nên $|x^2y^4|=x^2y^4$)

Hướng dẫn giải:

a) +) $\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$.

    +) $\sqrt{25}-\sqrt{16} = 5-4 = 1$.

Vì $3 > 1$ nên $\sqrt{25-16}>\sqrt{25}-\sqrt{16}$.

Vậy $\sqrt{25-16}>\sqrt{25}-\sqrt{16}$.

b) Với $a>b>0$ nên $\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{a-b}$ đều xác định. 

Để so sánh $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ và $\sqrt{a-b}$ ta quy về so sánh $\sqrt{a}$ và $\sqrt{a-b}+\sqrt{b}$.

+) $(\sqrt{a})^2=a$.

+) $(\sqrt{a-b}+\sqrt{b})^2=(\sqrt{a-b})^2+2\sqrt{a-b}.\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2=a-b+b+2\sqrt{a-b}.\sqrt{b}=a+2\sqrt{a-b}.\sqrt{b}$.

Do $a>b>0$ nên $2\sqrt{a-b}.\sqrt{b}>0$

$\Rightarrow$ $a+2\sqrt{a-b}.\sqrt{b}>a$

$\Rightarrow$ $(\sqrt{a-b}+\sqrt{b})^2>(\sqrt{a})^2$

Do $\sqrt{a},\sqrt{a-b}+\sqrt{b}>0$ 

$\Rightarrow$ $\sqrt{a-b}+\sqrt{b}>\sqrt{a}$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{a-b}>\sqrt{a}-\sqrt{b}$ (đpcm)

Vậy $\sqrt{a-b}>\sqrt{a}-\sqrt{b}$.

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt{1\dfrac{9}{16}.5\dfrac{4}{9}.0,01}=\sqrt{(\dfrac{1.16+9}{16}).(\dfrac{5.9+4}{9}).\dfrac{1}{100}}$

$=\sqrt{\dfrac{25}{16}}.\sqrt{\dfrac{49}{9}}.\sqrt{\dfrac{1}{100}}=\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}.\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}}.\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{100}}$

$=\dfrac{5}{4}.\dfrac{7}{3}.\dfrac{1}{10}=\dfrac{5.7}{4.3.10}$

$=\dfrac{7}{24}$.

b) $\sqrt{1,44.1,21-1,44.0,4}=\sqrt{1,44(1,21-0,4)}$

$=\sqrt{1,44.0,81}=\sqrt{1,44}.\sqrt{0,81}$

$=1,2.0,9=1,08$.

c) $\sqrt{\dfrac{165^2-124^2}{164}}=\sqrt{\dfrac{(165-124)(165+124)}{164}}$

$=\sqrt{\dfrac{41.289}{164}}=\sqrt{\dfrac{289}{4}}$

$=\dfrac{\sqrt{289}}{\sqrt{4}}=\dfrac{17}{2}$.

d) $\sqrt{\dfrac{149^2-76^2}{457^2-384^2}}=\sqrt{\dfrac{(149-76)(149+76)}{(457-384)(457+384)}}$

$=\sqrt{\dfrac{73.225}{73.841}}=\sqrt{\dfrac{225}{841}}$

$=\dfrac{\sqrt{225}}{\sqrt{841}}=\dfrac{15}{29}$.

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt{2}.x-\sqrt{50}=0$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{2}x=\sqrt{50}$

$\Leftrightarrow$ $x=\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow$ $x=\sqrt{\dfrac{50}{2}}$

$\Leftrightarrow$ $x=\sqrt{25}$

$\Leftrightarrow$ $x=5$.

Vậy $x=5$.

b) $\sqrt{3}.x+\sqrt{3}=\sqrt{12}+\sqrt{27}$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{3}x=\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{3}x=\sqrt{4.3}+\sqrt{9.3}-\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{3}x=\sqrt{4}.\sqrt{3}+\sqrt{9}.\sqrt{3}-\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{3}x=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}-\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{3}x=4\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow$ $x=\dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$\Leftrightarrow$ $x=4$.

Vậy $x=4$.

c) $\sqrt{3}.x^2-\sqrt{12}=0$
$\Leftrightarrow$ $\sqrt{3} x^{2}=\sqrt{12}$
$\Leftrightarrow$ $\sqrt{3} x^{2}=\sqrt{4.3}$
$\Leftrightarrow$ $\sqrt{3} x^{2}=\sqrt{4}.\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow$ $x^{2}=\sqrt{4}$
$\Leftrightarrow$ $x^{2}=\sqrt{2^{2}}$
$\Leftrightarrow$ $x^{2}=2$
$\Leftrightarrow$ $\sqrt{x^{2}}=\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow$ $|x|=\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow$ $x=\pm \sqrt{2}$.

Vậy $x=\pm \sqrt{2}$.

d) $\dfrac{x^2}{\sqrt{5}}-\sqrt{20}=0$
$\Leftrightarrow$ $\dfrac{x^{2}}{\sqrt{5}}=\sqrt{20}$
$\Leftrightarrow$ $x^{2}=\sqrt{20}.\sqrt{5}$
$\Leftrightarrow$ $x^{2}=\sqrt{20.5}$
$\Leftrightarrow$ $x^{2}=\sqrt{100}$
$\Leftrightarrow$ $x^{2}=\sqrt{10^{2}}$
$\Leftrightarrow$ $x^{2}=10$
$\Leftrightarrow$ $\sqrt{x^{2}}=\sqrt{10}$
$\Leftrightarrow$ $|x|=\sqrt{10}$
$\Leftrightarrow$ $x=\pm \sqrt{10}$
Vậy $x=\pm \sqrt{10}$.

Hướng dẫn giải:

a) $ab^2.\sqrt{\dfrac{3}{a^2b^4}}=ab^2.\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^2b^4}}$

$=ab^2.\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^2}.\sqrt{b^4}}=ab^2.\dfrac{\sqrt{3}}{|a|.|b^2|}$

$=ab^2.\dfrac{\sqrt{3}}{(-a).b^2}$ (Do $a<0$ nên $|a|=-a$ và $b \ne 0$ nên $b^2 > 0$ $\Rightarrow$  $\left|b^2\right|=b^2$)

$=-\sqrt{3}$.

b) $\sqrt{\dfrac{27(a-3)^2}{48}}=\sqrt{\dfrac{9(a-3)^2}{16}}$

$=\dfrac{\sqrt{9}.\sqrt{(a-3)^2}}{\sqrt{16}}=\dfrac{3.|a-3|}{4}$

$=\dfrac{3(a-3)}{4}$. 

(Do $a > 3$ nên $|a -3| = a - 3$)

c) $\sqrt{\dfrac{9+12a+4a^2}{b^2}}=\dfrac{\sqrt{3^2+2.3.2a+(2a)^2}}{\sqrt{b^2}}$

$=\dfrac{\sqrt{(3+2a)^2}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{|3+2a|}{|b|}$
$=\dfrac{3+2a}{-b}=-\dfrac{2a+3}{b}$.

(Do $a \ge -1,5$ $\Rightarrow$ $3+2a\ge 0$ nên $|3+2a|=3+2a$ và $b<0$ nên $|b|=-b$)

d) $(a-b).\sqrt{\dfrac{ab}{(a-b)^2}}=(a-b).\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{(a-b)^2}}$

$=(a-b).\dfrac{\sqrt{ab}}{|a-b|}=(a-b).\dfrac{\sqrt{ab}}{-(a-b)}$

$=-\sqrt{ab}$.

(Do $a < b < 0$ nên $|a - b| = -(a - b)$ và $ab > 0$)

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt{(x-3)^2}=9$

$\Leftrightarrow$ $|x-3|=9$

+) TH1: $x \ge 3$ thì $|x - 3| = x - 3$ nên ta có:

$x - 3 = 9$ $\Leftrightarrow$ $x = 12$ (thỏa mãn điều kiện $x \ge 3$).

+) TH2: $x < 3$ thì $|x - 3| = 3 - x$ nên ta có:

$3 - x = 9$ $\Leftrightarrow$ $x = -6$ (thỏa mãn điều kiện $x<3$).

Vậy $x=12$ hoặc $x=-6$.

b) $\sqrt{4x^2+4x+1}=6$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{(2x)^2+2.2x.1+1^2}=6$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{(2x+1)^2}=6$

$\Leftrightarrow$ $|2x+1|=6$

+) TH1: $x \ge -\dfrac{1}{2}$ thì $|2x+1|=2x+1$ nên ta có:

$2x+1=6$ $\Leftrightarrow$ $2x=5$ $\Leftrightarrow$ $x=\dfrac{5}{2}$ (thỏa mãn điều kiện $x \ge -\dfrac{1}{2}$).

+) TH2: $x<-\dfrac{1}{2}$ thì $|2x+1|=-(2x+1)$ nên ta có:

$-(2x+1)=6$ $\Leftrightarrow$ $-2x-1=6$ $\Leftrightarrow$ $-2x=7$ $\Leftrightarrow$ $x=-\dfrac{7}{2}$ (thỏa mãn điều kiện $x<-\dfrac{1}{2}$).

Vậy $x=\dfrac{5}{2}$ hoặc $x=-\dfrac{7}{2}$.

Hướng dẫn giải:

a) Đúng, vì $\sqrt{0,0001} = \sqrt{0,01^2} = 0,01$.

b) Sai, vì vế phải không có nghĩa.

(Do $\sqrt{A}$ có nghĩa khi $A \ge 0$)

c) Đúng, vì $7 = \sqrt{7^2} = \sqrt{49} > \sqrt{39}$ và $6 = \sqrt{6^2} = \sqrt{36} < \sqrt{9}$.

d) Đúng, vì $4-\sqrt{13} = \sqrt{4^2}-\sqrt{13} = \sqrt{16}-\sqrt{13} > 0$.

Ta có: $(4 - \sqrt{13}).2x < \sqrt{3}(4 - \sqrt{13})$ 

$\Leftrightarrow$ $2x < \sqrt{3}$ (giản ước hai vế với ($4 - \sqrt{13}>0$)).

Hướng dẫn giải:

Ta thấy mỗi cạnh của tứ giác $MNPQ$ là đường chéo của hình chữ nhật do hai ô vuông ghép lại, nên hình đó có bốn cạnh bằng nhau và bằng $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$ (đvđd) (định lý Pytago)

Tứ giác $MNPQ$ có bốn cạnh bằng nhau nên tứ giác $MNPQ$ là hình thoi.

Mỗi đường chéo của tứ giác $MNPQ$ là đường chéo của hình chữ nhật do ba ô vuông ghép lại, nên giác $MNPQ$ có hai đường chéo bằng nhau và bằng $\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$ (đvđd)

Hình thoi $MNPQ$ có hai đường chéo bằng nhau nên tứ giác $MNPQ$ là hình vuông.

Diện tích hình vuông $MNPQ$:

            $S = (\sqrt{5})^2 = 5$ (đvdt)