(Với mỗi giá trị $x$ đặt tương ứng với một giá trị $f(x)=\cot x$.)
1. Tập xác định của hàm số:
Do $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$
Điều kiện xác định: $\sin x \neq 0$ hay $x \notin \{k\pi \}$ ($k \in \mathbb Z$).
Vậy tập xác định $\mathbb D = \mathbb R$ \ $\{ k \pi \}$ $(s \in \mathbb Z)$
$=...\Big( -\pi; 0 \Big) \cup \Big( 0; \pi \Big) \cup \Big( \pi ;2\pi \Big) \cup ...$
Space
2. Hàm số $f(x)=\cot x$ là hàm số lẻ vì
+) Tập xác định $\mathbb D = \mathbb R$ \ $\{ k \pi \}$ $(s \in \mathbb Z)$ thỏa mãn điều kiện:
$\forall x \in \mathbb D$ thì $-x \in \mathbb D$.
+) $f(-x)=\cot (-x)=-\cot x=-f(x)$
Space
3. Hàm số tuần hoàn với chu kì $\pi$:
$\forall x \in \mathbb R;$ $\cot x=\cot (x+\pi)$.
Space
4. Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
*) Kết hợp với tính tuần hoàn của hàm số, ta có kết luận, hàm số $y=\cot x$ nghịch biến trên các khoảng $\Big( k\pi;(k+1)\pi \Big)$ với $k \in \mathbb Z$.
Space
5. Vẽ đồ thị hàm số $f(x)=\cot x$.
Do hàm số $f(x)=\cot x$ có tính tuần hoàn với chu kì $\pi$ và chỉ xác định trên các khoảng $\Big( k\pi ; (k+1)\pi \Big)$ với $k \in \mathbb Z$, vậy, ta có thể vẽ đồ thị của hàm $\cot x$ trên khoảng $\Big(0;\pi \Big)$ sau đó dịch chuyển theo phương ngang sang trái và sang phải trên các khoảng còn lại.