Đề thi tự luận (2021)

Hướng dẫn giải:

1) Thay $x=\dfrac{1}{9}$(tm đkxđ) vào biểu thức $A$ ta được:

$A=\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{9}}+1}{\sqrt{\dfrac{1}{9}}-3}=\dfrac{\dfrac{1}{3}+1}{\dfrac{1}{3}-3}=-\dfrac{1}{2}$

Vậy với $x=\dfrac{1}{9}$ thì giá trị của biểu thức $A=-\dfrac{1}{2}$.

2) ĐKXĐ: $x \geq 0, x \neq 9$

$B=\dfrac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{4 x+6}{x-9}$ 

$B=\dfrac{3 \sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}+\dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}-\dfrac{4 x+6}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}$

$B=\dfrac{3 x-9 \sqrt{x}+x+3 \sqrt{x}-4 x-6}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}$

$B=\dfrac{-6(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}$

Vậy với $x \geq 0, x \neq 9$ thì giá trị của biểu thức $B=\dfrac{-6(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}$.

3) ĐKXĐ: $x \geq 0, x \neq 9$

Ta có: $P=A: B$ 

$P=\dfrac{-6(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}: \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}$

$P=\dfrac{-6(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)} . \dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}$

$P=\dfrac{-6}{\sqrt{x}+3}$

Ta thấy: $\sqrt{x} \geq 0$ với $\forall x \geq 0, x \neq 9$

$\Rightarrow \sqrt{x}+3 \geq 3$ với $\forall x \geq 0, x \neq 9$

$\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{x}+3} \leq \dfrac{1}{3}$ với $\forall x \geq 0, x \neq 9$

$\Rightarrow \dfrac{-6}{\sqrt{x}+3} \geq-2$ với $\forall x \geq 0, x \neq 9$

$\Rightarrow P \geq 2$ với $\forall x \geq 0, x \neq 9$

Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi $x=0$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=-2 \Leftrightarrow x=0$.

Hướng dẫn giải:

1) Gọi chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật ban đầu lần lượt là $x$(cm) và $y$(cm),($x>1, y>1$)

Khi tăng chiều rộng $2 $cm và giảm chiều dài $1$cm ta được chiều rộng và chiều dài mới lần lượt là: $x+2$ (cm) và $y-1$(cm)

Theo đề bài ta có phương trình: $(x+2)(y-1)-x y=9 \Leftrightarrow-x+2 y=11$        (1)

Khi giảm chiều rộng $1 $cm và tăng chiều dài $2 $cm ta được chiều rộng và chiều dài mới lần lượt là: $x-1$ (cm) và $y+2$ (cm)

Theo đề bài ta có phương trình: $(x-1)(y+2)=x y \Leftrightarrow 2 x-y=2$             (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}-x+2 y=11 \\ 2 x-y=2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=5 \\ y=8\end{array}\right.\right.$ (thỏa mãn)

Vậy chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật ban đầu là $5$(cm) và $8$(cm).

2) 

Xét nửa đường tròn $(O, O A)$ như hình vẽ.

Ta có tam giác $O A B$ vuông cân tại $O, O A=O B=20$ cm $\Rightarrow S_{ O A B}=\dfrac{1}{2} O A^{2}=200$(cm$^2$)

Diện tích hình quạt $O A B$ là: $S_{1}=\dfrac{\pi .20^{2} .90}{360}=100 \pi$ (cm$^2$)

Diện tích hình viên phân $A m B$ là: $S_{2}=S_{1}-S_{O A B}=100 \pi-200$ (cm$^2$)

Tổng diện tích bốn cánh hoa là: $S=8(100 \pi-200) \approx 913,3$ (cm$^2$).

Hướng dẫn giải:

1) Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 6  \\ 2 x - y = - 7 \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 6  \\8 x - 4 y = - 2 8 \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}3 x + 4 y = 6  \\1 1 x = - 2 2 \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=3 \\x=-2 \end{array}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x ; y)=(-2 ; 3)$.

2) Xét phương trình hoành độ giữa $d$ và $(P)$ ta được:

$x^{2}=5 x+m \Leftrightarrow x^{2}-5 x-m=0$    (1)

a) Để $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt.

Ta có: $\Delta=(-5)^{2}-4.1 .(-m)=25+4 m$

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta>0 \Leftrightarrow 25+4 m>0 \Leftrightarrow m>-\dfrac{24}{4}$

Vậy khi $m>-\dfrac{25}{4}$ thì $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt.

b) Khi $m=-4$ thì (1) trở thành: $x^{2}-5 x+4=0$

$\Leftrightarrow x^{2}-4 x-x+4=0 \Leftrightarrow x(x-4)-(x-4)=0 \Leftrightarrow(x-4)(x-1)=0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x - 1 = 0  \\x - 4 = 0 \end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=1 \\x=4 \end{array}\right.$

Khi $x=1 \Rightarrow y=1$.

Khi $x=4 \Rightarrow y=16$.

Vậy khi $m=-4$ thì $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có tọa độ $A(1 ; 1)$ và $B(4 ; 16)$.

Hướng dẫn giải:

1) Chứng minh tứ giác $A B O C$ nội tiếp.

Tứ giác $A B O C$ có $\widehat{A B O}=\widehat{A C O}=90^{\circ}$ (tính chất của tiếp tuyến) nên tứ giác $A B O C$ nội tiếp đường tròn đường kính $A O$.

2) Chứng minh tam giác $A B E$ và tam giác $A F B$ đồng dạng với nhau và $A B . B F=A F. B E$.

Xét $\Delta A B E$ và $\Delta A F B$ có:

$\widehat{B A E}$ chung;

$\widehat{A B E}=\widehat{A F B}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn $\widehat{B E}$ )

$\Rightarrow \Delta A B E \sim \Delta A F B$ (g . g)

$\Rightarrow \dfrac{A B}{B E}=\dfrac{A F}{B F} \Leftrightarrow A B .B F=A F. B E$

3) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $E F H$ và $M$ là trung điểm của $H O$. Chứng minh $M I \perp H O$.

Ta có $A B=A C$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), mà $O B=O C$ (bán kính $(O)) \Rightarrow A O$ là trung trực của $B C \Rightarrow A O \perp B C$ tại trung điểm $H$ của $B C$.

Trong tam giác $A B O$ vuông tại $B$ có $B H$ là đường cao, ta có: $A B^{2}=A H . A O$   (1)

Mặt khác $\triangle A B E \sim \Delta A F B \Rightarrow \dfrac{A B}{A E}=\dfrac{A F}{A B} \Leftrightarrow A B^{2}=A E. A F$          (2)

Từ (1) và (2), ta có $A H .A O=A E.A F\left(=A B^{2}\right) \Rightarrow \dfrac{A H}{A E}=\dfrac{A F}{A O}$.

Xét $\Delta A H E$ và $\Delta A F O$ có:
$\widehat{H A E}$ chung;

$\dfrac{A H}{A E}=\dfrac{A F}{A O}$ (chứng minh trên)

$\Delta AHE \sim \Delta AFO$( c.g.c )

$\Rightarrow \widehat{A H E}=\widehat{A F O} \Rightarrow$ tứ giác EHOF có góc ngoài đỉnh $H$ bằng góc trong đỉnh $F$ nên là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow$ bốn điểm $E, H, O, F$ cùng nằm trên đường tròn.

$I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $E F H$ nên $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $E H O F$, mà $M$ là trung điểm của dây $O H$ nên $I M \perp O H$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây).

Vậy $M I \perp H O$.

Hướng dẫn giải:

Bình phương hai vế ta có :

$\left[(x-1)^{2}+2\right]^{2}=x^{3}+3 x$

$\Leftrightarrow(x-1)^{4}+4(x-1)^{2}+4=x\left(x^{2}+3\right)$

$\Leftrightarrow(x-1)^{4}+4(x-1)^{2}-x\left(x^{2}-1\right)+4(1-x)=0$

$\Leftrightarrow(x-1)\left[(x-1)^{3}+4(x-1)-x(x+1)-4\right]=0$

$\Leftrightarrow(x-1)\left(x^{3}-4 x^{2}+6 x-9\right)=0$

$\Leftrightarrow(x-1)(x-3)\left(x^{2}-x+3\right)=0$

Nhận xét: $x^{2}-x+3=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{11}{4}>0$, $\forall m$

$\Leftrightarrow(x-1)(x-3)=0$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1( \text{tm}) \\ x=3(\text{tm})\end{array}\right.$

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm phân biêt: $x=1$ và $x=3$.