Đề thi tự luận (2021)

1. Giải phương trình: $2 x^{2}-3 x-5=0$.

2. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x-2 y=-1 \\ 2 x+y=8\end{array}\right.$.

Cho hàm số $y=-\dfrac{1}{4} x^{2}$ có đồ thị (P) và đường thằng $(d): y=x-m$ ( $m$ là tham số).

1. Vẽ đồ thị (P).

2. Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại 2 điểm phân biệt.

1. Cho phương trình: $x^{2}+m x-m-1=0$ ( $m$ là tham số). Tìm $m$ để phương trình có 2 nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ thỏa mãn: $\left|x_{1}-x_{2}\right|=2$.

2.Một nhóm học sinh dự định đóng góp $300$ cuốn vở để làm quà tặng cho các em nhỏ có hoàn cảnh khó khăn ờ một mái ấm tình thương. Thực tế ngày đi trao quà có thêm $2$ bạn tham gia đi cùng với nhóm và mỗi bạn trong nhóm góp nhiều hơn dự định $1$ cuốn vở, nên tổng số vở góp được là $351$ cuốn. Hỏi ban đầu nhóm đó có bao nhiêu học sinh và mỗi học sinh dự định góp bao nhiêu cuốn vở. (Biết rằng số vờ mỗi học sinh đóng góp là như nhau).

3. Giải phương trình: $ 2 x^{2}-3 x-2=(x-2) \sqrt{3 x^{2}+x+5}$.

Cho nửa đường tròn tâm $O$ có đường kính $AB$ bằng $2 R$ ($R>0$). Gọi $C$ là điểm chính giữa của cung $AB$ và $M$ là điểm thuộc cung $BC$ (M khác $B$ và $C$). Tiếp tuyến tại $M$ của nửa đường tròn tâm $O$ cắt các đường thằng $OC$ và $AB$ theo thứ tự tại $S$ và $K$. $AM$ cắt $OC$ tại $I$.

1. Tính diện tích hình viên phân được giới hạn bời $AC$ và cung $AC$ (Tính theo $R$ ).

2. Chứng minh tứ giác $OlMB$ là tứ giác nội tiếp và $SI=SM$.

3. Chứng minh $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ICM$.

4. Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ trên $AB$. Chứng minh $BH . AK=BK.AH$.

Cho a, b, là hai số thực dương. Chứng minh rằng: "Nếu phương trình $x^{2}-2x \sqrt{ab}+2020 a+2021b=0$ (ẩn $x$) có nghiệm thì $a+b \geq (\sqrt{2020}+\sqrt{2021})^{2}$".