Bài 3. Tổ hợp

1. Định nghĩa

Cho tập hợp \(A\) gồm \(n\) phần tử và một số nguyên \(k\) với \(1\le k\le n\) .

Mỗi tập hợp con gồm \(k\) phần tử được lấy ra từ \(n\) phần tử của \(A\) được gọi là một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử đó.

2. Số các tổ hợp

Kí hiệu \(C_n^k\) là số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử với \(1\le k\le n\). Ta có \(C_n^k=\dfrac{A_n^k}{k!}\).

Quy ước: \(0!=1;C_n^0=1.\)

\(C_n^k=\dfrac{n!}{k!\left(n-k\right)!}\) với \(1\le k\le n\).

Ví dụ. Cần phân công \(4\) bạn từ một tổ có \(12\) bạn để làm trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách phân công khác nhau?

Giải

Kết quả của sự phân công là một nhóm gồm bốn bạn, tức là một tổ hợp chập \(4\) của \(12\), vậy số cách phân công là \(C^4_{12}=495\) cách.

3. Tính chất của các số \(C_n^k\)

Ta có \(C_n^k=C_n^{n-k}\left(0\le k\le n\right)\) và \(C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k=C_n^k\left(1\le k\le n\right)\)