Toán lớp 11 (Chân trời sáng tạo)
Bài 1. Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhómSố trung bình, mốt của mẫu số liệu ghép nhómChú ý:
- Số trung bình (số trung vị, tứ phân vị, mốt) của mẫu số liệu ghép nhóm đều là các ước lượng của số trung bình (số trung vị, tứ phân vị, mốt) của mẫu số liệu gốc (trước khi ghép nhóm).
- Đối với mẫu số liệu rời rạc (mẫu số liệu thuộc tập số tự nhiên), thường được cho các nhóm dưới dạng $[k_1;k_2]$ hay $k_1 - k_2$, trong đó $k_1,k_2 \in \mathbb N$, để tiện cho việc tính toán, ta có thể hiệu chỉnh nhóm $[k_1;k_2]$ thành $[k_1-0,5;k_2+0,5)$.
Ví dụ:
Mẫu số liệu trước hiệu chỉnh:
| Điểm thi | $1-4$ | $5-7$ | $8-10$ |
| Số học sinh | $5$ | $20$ | $10$ |
Mẫu số liệu sau hiệu chỉnh:
| Điểm thi | $[0,5;4,5)$ | $[4,5;7,5)$ | $[7,5;10)$ |
| Số học sinh | $5$ | $20$ | $10$ |
Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm:
| Nhóm | Nhóm 1 | Nhóm 2 | $...$ | Nhóm k |
| Giá trị đại diện | $c_1$ | $c_2$ | $...$ | $c_k$ |
| Tần số | $n_1$ | $n_2$ | $...$ | $n_k$ |
| $\bar{x}=\dfrac{n_1.c_1+n_2 . c_2 + ... + n_k.c_k}{n}$ |
Ví dụ 1:
Các bạn học sinh lớp 11A1 trả lời $40$ câu hỏi trong một bài kiểm tra. Kết quả được thống kê ở bảng sau:
| Số câu trả lời đúng | $[16;21)$ | $[21;26)$ | $[26;31)$ | $[31;36)$ | $[36;41)$ |
| Số học sinh | $4$ | $6$ | $8$ | $18$ | $4$ |
Hãy ước lượng trung bình số câu trả lời đúng của các học sinh lớp 11A1.
Giải
Ta có bảng thống kê số câu trả lời đúng theo giá trị đại diện:
| Số câu trả lời đúng | $18,5$ | $23,5$ | $28,5$ | $33,5$ | $38,5$ |
| Số học sinh | $4$ | $6$ | $8$ | $18$ | $4$ |
Áp dụng công thức tính giá trị trung bình, ta có:
$\bar{x}=\dfrac{18,5 . 4 +23,5 . 6 +28,5 . 8 +33,5 . 18 +38,5 . 4}{4 +6+8+18+4}=30$
Ý nghĩa: Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho số trung bình của mẫu số liệu gốc. Nó thường dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là nhóm có tần số lớn nhất.
Giả sử nhóm chứa mốt là $\left[u_m ; u_{m+1}\right)$, khi đó mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là $M_o$, được xác định bởi công thức
| $M_o=u_m+\dfrac{n_m-n_{m-1}}{\left(n_m-n_{m-1}\right)+\left(n_m-n_{m+1}\right)} \cdot\left(u_{m+1}-u_m\right)$ |
Chú ý: Nếu không có nhóm kề trước của nhóm chứa mốt thì $n_{m-1}=0$. Nếu không có nhóm kề sau của nhóm chứa mốt thì $n_{m+1}=0$.
Ví dụ 2:
Một công ty xây dựng khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào. Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau:
| Mức giá (triệu đồng / m$^2$) |
$[10;14)$ | $[14;18)$ | $[18;22)$ | $[22;26)$ | $[26;30)$ |
| Số khách hàng | $54$ | $78$ | $120$ | $45$ | $12$ |
a) Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Công ty nên xây nhà ở mức giá nào để nhiều người có nhu cầu mua nhất?
Giải
a) Nhóm chứa mốt (gốc) của mẫu số liệu trên là nhóm $[u_m ; u_{m+1})=[u_3 ; u_4)=[18 ; 22)$.
Vậy $m=3$. Thay số vào công thức, ta có:
$u_m=u_3=18,\, n_{m-1}=n_{2}=78,\, n_m=n_3=120,\, n_{m+1}=n_{4}=45$,
$u_{m+1}-u_m=u_4-u_3=22-18=4$.
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là
$M_o=18+\dfrac{120-78}{(120-78)+(120-45)} . 4=\dfrac{758}{39} \approx 19,4$
b) Dựa vào kết quả trên ta có thể dự đoán rằng nếu công ty xây nhà ở mức giá $19,4$ triệu đồng / m$^2$ thì sẽ có nhiều người có nhu cầu mua nhất.
Ý nghĩa:
- Mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm là giá trị có khả năng xuất hiện cao nhất khi lấy mẫu. Mốt của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm $M_o$ xấp xỉ với mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm.
- Các giá trị nằm xung quanh $M_o$ thường có khả năng xuất hiện cao hơn các giá trị khác.
- Một mẫu số liệu ghép nhóm có thể có nhiều nhóm chứa mốt và nhiều mốt.