Luyện tập chung: Mệnh đề và chứng minh mệnh đề

Hướng dẫn giải:

Phân tích:

$P$: "$n^2$ chẵn" (giả thiết); $Q$: "$n$ chẵn" thì $\overline{Q}$: "$n$ lẻ".

Lời giải:

Giả sử $n$ lẻ, khi đó $n$ có dạng $2k + 1$ với $k \in \mathbb{Z}$.

Suy ra $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k  +1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ lẻ (mâu thuẫn với giả thiết $n^2$ chẵn).

Do đó $n$ chẵn nên nếu $n^2$ chẵn thì $n$ chẵn.

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác $ABC$ không phải tam giác đều.

Không mất tính tổng quát, có thể giả sử $\widehat{A} \ge \widehat{B} \ge \widehat{C}$.

Vì tam giác $ABC$ không phải là tam giác đều nên $\widehat{A} > \widehat{C}$.

Giả sử $\widehat{C} \ge 60^{\circ}$ thì $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} > 180^{\circ}$ (vô lí).

Do đó $\widehat{C} < 60^{\circ}$ nên một tam giác không phải là tam giác đều thì có ít nhất một góc nhỏ hơn $60^{\circ}$.

Hướng dẫn giải:

 Trường hợp 1: Giả sử ba số $a$, $b$, $c$ đều lớn hơn $1$ hoặc ba số $a$, $b$, $c$ đều nhỏ hơn $1$.

Khi đó $a.b.c \ne 1$ (trái với giả thiết).

 Trường hợp 2: Giả sử hai trong ba số $a$, $b$, $c$ lớn hơn 1.

Không mất tính tổng quát, giả sử $a > 1$ và $b > 1$.

Vì $a.b.c = 1$ nên $c < 1$ do đó:

     $(a - 1).(b -1).(c - 1) < 0$

$\Leftrightarrow abc + a+b+c - ab - ac - ca - 1 < 0$

$\Leftrightarrow a+b+c - ab - ac - ca  < 0$

$\Leftrightarrow a+b+c < ab + ac + ca $

$\Leftrightarrow a+b+c < \dfrac{abc}{c} + \dfrac{abc}{a} + \dfrac{abc}{b}$

$\Leftrightarrow a+b+c < \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$ (mâu thuẫn với giả thiết).

Vậy chỉ có một và chỉ một trong ba số $a$, $b$, $c$ lớn hơn $1$.

Hướng dẫn giải:

Giả sử ba số $a$, $b$, $c$ không đồng thời là các số dương thì có ít nhất một số không dương.

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $a \le 0$.

 Nếu $a = 0$ thì $abc = 0$ (mâu thuẫn với giả thiết $abc>0$);

 Nếu $a < 0$ thì từ $abc > 0 \Rightarrow bc < 0$.

Ta có $ab + bc + ca > 0 \Leftrightarrow a(b + c) > -bc \Rightarrow a(b+c) > 0 \Rightarrow b + c < 0 \Rightarrow a + b + c < 0$ (mâu thuẫn với giả thiết).

Vậy cả ba số $a$, $b$ và $c$ đều dương.

Hướng dẫn giải:

Giả sử $x + y + xy = -1$.

$\Rightarrow x + y + xy + 1 = 0 \Leftrightarrow (x + 1)(y + 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x + 1 = 0\\ &y + 1 = 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = -1\\ &y = -1 \end{aligned} \right.$ (mâu thuẫn với giả thiết).

Vậy nếu $x \ne -1$ và $y \ne -1$ thì $x + y + xy \ne -1$.