Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

a) Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng \(\Delta_1\), \(\Delta_2\) lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u_1}\), \(\overrightarrow{u_2}\). Khi đó: 

• \(\Delta_1\) cắt \(\Delta_2\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{u_1}\), \(\overrightarrow{u_2}\) không cùng phương. 
• \(\Delta_1\) song song với \(\Delta_2\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{u_1}\), \(\overrightarrow{u_2}\) cùng phương và có một điểm thuộc một đường thẳng mà không thuộc đường thẳng còn lại. 
• \(\Delta_1\) trùng với \(\Delta_2\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{u_1}\), \(\overrightarrow{u_2}\) cùng phương và có một điểm thuộc cả hai đường thẳng đó. 

Chú ý: \(\Delta_1\) vuông góc với \(\Delta_2\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{u_1}\), \(\overrightarrow{u_2}\) vuông góc với nhau. 

b) Cho hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) có phương trình lần lượt là: 

\(a_1x+b_1y+c_1=0\) và \(a_2x+b_2y+c_2=0\).

Xét hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}a_1x+b_1y+c_1=0\\a_2x+b_2y+c_2=0\end{matrix}\right.\)  (I)

Khi đó

• \(\Delta_1\) cắt \(\Delta_2\) khi và chỉ khi hệ (I) có nghiệm duy nhất. 
• \(\Delta_1\) song song với \(\Delta_2\) khi và chỉ khi hệ (I) vô nghiệm. 
• \(\Delta_1\) trùng với \(\Delta_2\) khi và chỉ khi hệ (I) có vô số nghiệm. 

Ví dụ: Cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(2x-y+1=0\). Xét vị trí tương đối của \(d\) với mỗi đường thẳng sau: 

a) \(\Delta_1:\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=-1+2t.\end{matrix}\right.\)

b) \(\Delta_2:y=x+2\).

c) \(\Delta_3:\dfrac{x}{4}-\dfrac{y}{8}=-\dfrac{1}{8}\).

Giải: 

a) \(\Delta_1:\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=-1+2t\end{matrix}\right.\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u_{\Delta_1}}=\left(1;2\right)\) suy ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là \(\overrightarrow{n_{\Delta_1}}=\left(2;-1\right)\).

Ta lấy \(t=0\), ta được điểm \(M\left(1;-1\right)\in\Delta_1\). 

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta_1\) là \(2x-y-3=0\).

Hai đường thẳng \(d\) và \(\Delta_1\) có hai vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_d}=\left(2;-1\right)\) và \(\overrightarrow{n_{\Delta_1}}=\left(2;-1\right)\) cùng phương nên \(d\) và \(\Delta_1\) song song hoặc trùng nhau. 

Mà ta có \(M\left(1;-1\right)\) thuộc đường thẳng \(\Delta_1\) nhưng không thuộc đường thẳng \(d\) vì \(2.1-\left(-1\right)+1=4\ne0\). 

Do đó hai đường thẳng này song song với nhau. 

b) Đường thẳng \(\Delta_2\) có phương trình \(y=x+2\Leftrightarrow x-y+2=0\) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{\Delta_2}}=\left(1;-1\right)\). 

Ta có \(\dfrac{2}{1}\ne\dfrac{-1}{-1}\), do đó hai vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \(d\) và \(\Delta_2\) không cùng phương. Suy ra hai đường thẳng \(d\) và \(\Delta_2\) cắt nhau. 

c) Đường thẳng \(\Delta_3\) có phương trình \(\dfrac{x}{4}-\dfrac{y}{8}=-\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow2x-y+1=0\). 

Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(\Delta_3\) là một, hay chúng trùng nhau. 

2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow{u_1}=\left(a_1;b_1\right)\), \(\overrightarrow{u_2}=\left(a_2;b_2\right)\). Khi đó

\(\cos\left(\Delta_1,\Delta_2\right)=\dfrac{\left|a_1a_2+b_1b_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}.\sqrt{a_2^2+b_2^2}}\).

Nhận xét

• \(\Delta_1\perp\Delta_2\Leftrightarrow a_1a_2+b_1b_2=0\).
• Cho hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n_1}\), \(\overrightarrow{n_2}\). Ta cũng có: 

\(\cos\left(\Delta_1,\Delta_2\right)=\left|\cos\left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)\right|=\dfrac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}\).

Ví dụ: Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: 

a) \(d_1:\sqrt{3}x-y-4=0\) và \(d_2:x-\sqrt{3}y+2=0;\)

b) \(d_3:\left\{{}\begin{matrix}x=2+3t\\y=1+t\end{matrix}\right.\) và \(d_4:\left\{{}\begin{matrix}x=1+4t'\\y=5-2t';\end{matrix}\right.\)

c) \(d_5:\left\{{}\begin{matrix}x=3-3t\\y=2+2t\end{matrix}\right.\) và \(d_6:3x-2y+6=0\).

Giải:

a) Gọi \(\alpha\) là góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\). 

Ta có \(\overrightarrow{n_{d_1}}=\left(\sqrt{3};-1\right)\), \(\overrightarrow{n_{d_2}}=\left(1;-\sqrt{3}\right)\). 

Theo công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta có

\(\cos\alpha=\left|\cos\left(\overrightarrow{n_{d_1}},\overrightarrow{n_{d_2}}\right)\right|=\dfrac{\left|\overrightarrow{n_{d_1}}.\overrightarrow{n_{d_2}}\right|}{\left|\overrightarrow{n_{d_1}}\right|.\left|\overrightarrow{n_{d_2}}\right|}=\dfrac{\left|\sqrt{3}.1+\left(-1\right).\left(-\sqrt{3}\right)\right|}{\sqrt{3+1}.\sqrt{1+3}}=\dfrac{\left|2\sqrt{3}\right|}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

suy ra \(\alpha=30^o\).

Vậy góc giữa hai đường thẳng là \(\alpha=30^o\).

b) Gọi \(\beta\) là góc giữa hai đường thẳng \(d_3\) và \(d_4\). 

Ta có \(\overrightarrow{u_{d_3}}=\left(3;1\right)\), \(\overrightarrow{u_{d_4}}=\left(4;-2\right)\). 

Theo công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta có

\(\cos\beta=\left|\cos\left(\overrightarrow{u_{d_3}},\overrightarrow{u_{d_4}}\right)\right|=\dfrac{\left|\overrightarrow{u_{d_3}}.\overrightarrow{u_{d_4}}\right|}{\left|\overrightarrow{u_{d_3}}\right|.\left|\overrightarrow{u_{d_4}}\right|}=\dfrac{\left|3.4+1.\left(-2\right)\right|}{\sqrt{3^2+1^2}.\sqrt{4^2+\left(-2\right)^2}}=\dfrac{\left|10\right|}{\sqrt{10}.\sqrt{20}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

suy ra \(\beta=45^o\).

Vậy góc giữa hai đường thẳng là \(\beta=45^o\).

c) Gọi \(\gamma\) là góc giữa hai đường thẳng \(d_5\) và \(d_6\). 

Ta có \(\overrightarrow{u_{d_5}}=\left(-3;2\right)\Rightarrow\overrightarrow{n_{d_5}}=\left(2;3\right)\), \(\overrightarrow{n_{d_6}}=\left(3;-2\right)\). 

Theo công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta có

\(\cos\gamma=\left|\cos\left(\overrightarrow{n_{d_5}},\overrightarrow{n_{d_6}}\right)\right|=\dfrac{\left|\overrightarrow{n_{d_5}}.\overrightarrow{n_{d_6}}\right|}{\left|\overrightarrow{n_{d_5}}\right|.\left|\overrightarrow{n_{d_6}}\right|}=\dfrac{\left|2.3+3.\left(-2\right)\right|}{\sqrt{2^2+3^2}.\sqrt{3^2+\left(-2\right)^2}}=0\)

suy ra \(\gamma=90^o\).

Vậy góc giữa hai đường thẳng là \(\gamma=90^o\).

Cách khác: Ta thấy \(\overrightarrow{n_{d_5}}.\overrightarrow{n_{d_6}}=2.3+3.\left(-2\right)=0\) do đó \(\gamma=90^o\).

3. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta\) có phương trình \(ax+by+c=0\) (\(a^2+b^2>0\)) và điểm \(M\left(x_0;y_0\right)\). Khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta\), kí hiệu là \(d\left(M,\Delta\right)\), được tính bởi công thức sau: 

\(d\left(M,\Delta\right)=\dfrac{\left|ax_0+by_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\).

Chú ý: Nếu \(M\in\Delta\) thì \(d\left(M,\Delta\right)=0\).

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác \(ABC\) có \(A\left(1;0\right)\), \(B\left(3;2\right)\) và \(C\left(-2;-1\right)\). 

Tính độ dài đường cao kẻ từ \(C\) của tam giác \(ABC\). 

Giải:

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) là \(\overrightarrow{AB}=\left(2;2\right)\) suy ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\) là \(\overrightarrow{n_{AB}}=\left(1;-1\right)\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) là \(x-y-1=0\). 

Độ dài đường cao kẻ từ \(C\) của tam giác \(ABC\) là 

\(d\left(C,AB\right)=\dfrac{\left|-2-\left(-1\right)-1\right|}{\sqrt{\left(-2\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\).