Bài 3: Phương trình đường thẳng

1. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

- Vectơ \(\overrightarrow{u}\) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\) nếu \(\overrightarrow{u}\ne\overrightarrow{0}\) và giá của \(\overrightarrow{u}\) song song hoặc trùng với \(\Delta\).

- Hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x=x_0+at\\y=y_0+bt\end{matrix}\right.\) (\(a^2+b^2>0\) và \(t\) là tham số) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(M_0\left(x_0;y_0\right)\) và nhận \(\overrightarrow{u}=\left(a;b\right)\) làm vectơ chỉ phương. 

2. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

- Vectơ \(\overrightarrow{n}\) được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta\) nếu \(\overrightarrow{n}\ne\overrightarrow{0}\) và giá của \(\overrightarrow{n}\) vuông góc với \(\Delta\).

Nhận xét: Nếu đường thẳng \(\Delta\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=\left(a;b\right)\) thì vectơ \(\overrightarrow{n}=\left(-b;a\right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\Delta\) và ngược lại. 

- Phương trình \(ax+by+c=0\) (\(a\) và \(b\) không đồng thời bằng \(0\)) được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng. 

3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến 

Phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(M_0\left(x_0;y_0\right)\) và nhận \(\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)\) (\(\overrightarrow{n}\ne\overrightarrow{0}\)) làm vectơ pháp tuyến là \(a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)=0\).

Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương

Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(M_0\left(x_0;y_0\right)\) và nhận \(\overrightarrow{u}=\left(a;b\right)\) (\(\overrightarrow{u}\ne\overrightarrow{0}\)) làm vectơ chỉ phương là: 

\(\left\{{}\begin{matrix}x=x_0+at\\y=y_0+bt\end{matrix}\right.\) (\(t\) là tham số). 

Nếu \(a\ne0\) và \(b\ne0\) thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng \(\Delta\) ở dạng: 

\(\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}\).

Lập phương tình đường thẳng đi qua hai điểm

Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) đi qua hai điểm \(A\left(x_0;y_0\right)\), \(B\left(x_1;y_1\right)\) là: 

\(\left\{{}\begin{matrix}x=x_0+\left(x_1-x_0\right)t\\y=y_0+\left(y_1-y_0\right)t\end{matrix}\right.\) (\(t\) là tham số). 

Nếu \(x_1-x_0\ne0\) và \(y_1-y_0\ne0\) thì ta còn có thể viết phương tình của đường thẳng \(\Delta\) ở dạng: \(\dfrac{x-x_0}{x_1-x_0}=\dfrac{y-y_0}{y_1-y_0}\).

Chú ý: Đường thẳng \(\Delta\) đi qua hai điểm \(A\left(a;0\right)\) và \(B\left(0;b\right)\) (\(ab\ne0\)) có phương trình \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\), gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn. 

Ví dụ: Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(A\left(2;3\right)\) và hai vectơ \(\overrightarrow{u}=\left(1;2\right)\), \(\overrightarrow{n}=\left(-2;1\right)\). 

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng \(A\) và nhận \(\overrightarrow{n}\) là vectơ pháp tuyến. 

b) Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow{u}\) là vectơ chỉ phương. 

c) Lập phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(A\) và điểm \(B\left(3;2\right)\).

Giải: 

a)  Phương trình tổng quát của đường thẳng cần tìm là

\(-2\left(x-2\right)+1\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow-2x+y+1=0\).

b) Phương trình tham số của đường thẳng cần tìm là

\(\left\{{}\begin{matrix}x=2+t\\y=3+2t.\end{matrix}\right.\)

c) Đường thẳng \(AB\) nhận \(\overrightarrow{AB}\) là một vectơ chỉ phương. 

\(\overrightarrow{AB}=\left(3-2;2-3\right)=\left(1;-1\right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng \(AB\) là

\(\left\{{}\begin{matrix}x=2+t\\y=3-t.\end{matrix}\right.\)

Do \(\overrightarrow{AB}=\left(1;-1\right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) nên \(\overrightarrow{n_{AB}}=\left(1;1\right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) là

\(1\left(x-2\right)+1\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow x+y-5=0\).