Bài 22: Ba đường conic

1. ELIP

Định nghĩa: Cho hai điểm cố định và phân biệt \(F_1,F_2\). Đặt \(F_1F_2=2c>0\). Cho số thực \(a>c\). Tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(MF_1+MF_2=2a\) được gọi là đường elip \(\left(E\right)\). Hai điểm \(F_1,F_2\) được gọi là hai tiêu điểm và \(F_1F_2=2c\) được gọi là tiêu cự của \(\left(E\right)\).

Phương trình chính tắc của elip \(\left(E\right)\) có dạng \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) với \(a>b>0\). Elip \(\left(E\right)\) có hai tiêu điểm là \(F_1\left(-c;0\right)\), \(F_2\left(c;0\right)\) và có tiêu cự là \(2c\), với \(c=\sqrt{a^2-b^2}\).

Ví dụ: Cho elip \(\left(E\right):\dfrac{x^2}{169}+\dfrac{y^2}{25}=1\). 

a) Tìm tọa độ hai tiêu điểm, tiêu cự của \(\left(E\right)\).

b) Cho điểm \(M\) bất kì thuộc \(\left(E\right)\). Tính \(MF_1+MF_2\).

c) Cho điểm \(M\) thuộc \(\left(E\right)\) sao cho \(M\) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. Tính đoạn \(OM\), trong đó \(O\) là gốc tọa độ, từ đó hãy tìm tọa độ điểm \(M\).

Giải

a) Trong phương trình chính tắc của \(\left(E\right)\) ta có

\(a^2=169,b^2=25\Rightarrow a=13,b=5,c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{169-25}=12\).

Vậy \(\left(E\right)\) có hai tiêu điểm là \(F_1\left(-c;0\right)=\left(-12;0\right)\), \(F_2\left(c;0\right)=\left(12;0\right)\), có tiêu cự là \(2c=2.12=24\). 

b) Vì điểm \(M\) thuộc \(\left(E\right)\) nên \(MF_1+MF_2=2a=2.13=26\).

c) Gọi \(M\left(x_0;y_0\right)\). Do \(M\) thuộc \(\left(E\right)\) nên ta có \(\dfrac{x_0^2}{169}+\dfrac{y_0^2}{25}=1\) (1).

Theo giả thiết ta có \(\widehat{F_1MF_2}=90^o\), mà \(O\) là trung điểm của \(F_1F_2\) nên ta có \(OM=\dfrac{F_1F_2}{2}=c=12\).

Suy ra \(x_0^2+y_0^2=12^2=144\Leftrightarrow y_0^2=144-x_0^2\). (2) 

Từ (1) và (2) ta suy ra

 \(\dfrac{x_0^2}{169}+\dfrac{144-x_0^2}{25}=1\Leftrightarrow x_0^2=\dfrac{20111}{144}\Leftrightarrow x_0=\pm\dfrac{13\sqrt{119}}{12}\).

Thay \(x_0\) vào (2) ta được 

 \(y_0^2=144-x_0^2=144-\dfrac{20111}{144}=\dfrac{625}{144}\Leftrightarrow y_0=\pm\dfrac{25}{12}\).

Vậy \(OM=12\) và có bốn điểm \(M\) thỏa mãn đề bài, các điểm này có tọa độ là

\(M_1\left(\dfrac{13\sqrt{119}}{12};\dfrac{25}{12}\right),M_2\left(\dfrac{13\sqrt{119}}{12};-\dfrac{25}{12}\right),M_3\left(-\dfrac{13\sqrt{119}}{12};\dfrac{25}{12}\right),M_4\left(-\dfrac{13\sqrt{119}}{12};-\dfrac{25}{12}\right)\).

Cách khác: Để tìm tọa độ điểm \(M\), ta có thể giải hệ \(\left\{{}\begin{matrix}M\in\left(E\right)\\\overrightarrow{MF_1}.\overrightarrow{MF_2}=0.\end{matrix}\right.\)

2. HYPEBOL

Định nghĩa: Cho hai điểm phân biệt cố định \(F_1\) và \(F_2\). Đặt \(F_1F_2=2c\). Cho số thực dương \(a< c\). Tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(\left|MF_1-MF_2\right|=2a\) được gọi là đường hypebol \(\left(H\right)\). Hai điểm \(F_1\), \(F_2\) được gọi là hai tiêu điểm và \(F_1F_2=2c\) được gọi là tiêu cự của \(\left(H\right)\).

Phương trình chính tắc của hypebol \(\left(H\right)\) có dạng \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) với \(a,b>0\). Hypebol \(\left(H\right)\) có hai tiêu điểm là \(F_1\left(-c;0\right)\), \(F_2\left(c;0\right)\) và có tiêu cự là \(2c\), với \(c=\sqrt{a^2+b^2}\).

Ví dụ: Lập phương trình chính tắc của hypebol \(\left(H\right)\), biết rằng \(\left(H\right)\) có một tiêu điểm là \(F_1\left(-13;0\right)\) và đi qua điểm \(A\left(-5;0\right)\). Tìm điểm \(M\) thuộc \(\left(H\right)\) có hoành độ dương sao cho khoảng cách từ \(M\) đến gốc tọa độ là nhỏ nhất. 

Giải

Phương trình chính tắc của \(\left(H\right)\) có dạng \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\), trong đó \(a,b>0\).

Vì \(\left(H\right)\) đi qua điểm \(A\left(-5;0\right)\) nên \(\dfrac{\left(-5\right)^2}{a^2}-\dfrac{0^2}{b^2}=1\Rightarrow a=5\).

Do \(\left(H\right)\) có một tiêu điểm là \(F_1\left(-13;0\right)\) nên ta có \(c=13\) suy ra \(b^2=c^2-a^2=13^2-5^2=144\).

Vậy phương trình chính tắc của \(\left(H\right)\) là \(\dfrac{x^2}{25}-\dfrac{y^2}{144}=1\).

 Gọi \(M\left(x_0;y_0\right)\) với \(x_0>0\). 

Do \(M\in\left(H\right)\) nên ta có

\(\dfrac{x_0^2}{25}-\dfrac{y_0^2}{144}=1\Leftrightarrow x^2_0=25+\dfrac{25y_0^2}{144}\ge25\).

Suy ra \(x_0\ge5\). 

Từ đó suy ra \(OM=\sqrt{x_0^2+y_0^2}\ge\sqrt{x_0^2}=x_0\ge5\).

Dấu "\(=\)" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}y_0=0\\x_0=5\end{matrix}\right.\) do đó ta có \(M\left(5;0\right)\).

3. PARABOL

Định nghĩa: Cho một điểm \(F\) cố định và một đường thẳng \(\Delta\) cố định không đi qua \(F\). Tập hợp các điểm \(M\) cách đều \(F\) và \(\Delta\) được gọi là đường parabol \(\left(P\right)\). Điểm \(F\) được gọi là tiêu điểm, \(\Delta\) được gọi là đường chuẩn của \(\left(P\right)\). Khoảng cách từ \(F\) đến \(\Delta\) được gọi là tham số tiêu của \(\left(P\right)\). 

Phương trình chính tắc của parabol \(\left(P\right)\) có dạng \(y^2=2px\) với \(p>0\). Parabol \(\left(P\right)\) có tiêu điểm là \(F\left(\dfrac{p}{2};0\right)\), phương trình đường chuẩn \(\Delta\) là \(x=-\dfrac{p}{2}\).

Ví dụ: Cho parabol \(\left(P\right)\) có phương trình ở dạng chính tắc và \(\left(P\right)\) đi qua điểm \(A\left(3;6\right)\). 

a) Viết phương trình của \(\left(P\right)\).

b) Tìm tọa độ tiêu điểm \(F\), phương trình đường chuẩn \(\Delta\) và tham số tiêu \(p\) của \(\left(P\right)\). 

c) Cho điểm \(M\) thuộc \(\left(P\right)\) và có hoành độ bằng \(4\). Tính độ dài đoạn thẳng \(MF\).

Giải

a) Phương trình chính tắc của \(\left(P\right)\) có dạng \(y^2=2px\), trong đó \(p>0\).

Vì \(A\left(3;6\right)\) thuộc \(\left(P\right)\) nên ta có phương trình

\(6^2=2.p.3\Leftrightarrow p=6\).

Vậy phương trình chính tắc của \(\left(P\right)\) là \(y^2=12x\). 

b) \(\left(P\right)\) có tiêu điểm là \(F\left(\dfrac{p}{2};0\right)=\left(3;0\right)\), phương trình đường chuẩn \(\Delta\) là \(x+\dfrac{p}{2}=0\Leftrightarrow x+3=0\) và có tham số tiêu là \(p=6\).

c) Vì điểm \(M\) thuộc \(\left(P\right)\) nên ta có 

\(MF=d\left(M,\Delta\right)=\dfrac{\left|4+3\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}=7\).